湖北省2023-2024学年新高考联考协作体高三9月起点考试数学试题含答案

2023年湖北省高三9月起点考试

高三数学试卷

考试时间：2023年9月5日下午15:00-17:00试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知复数z满足(l+i)z=2-i,则2的虚部为

A.1B.C.|D.

2222

2.已知集合A=[x\x2-5x+4>0},集合B={x&Z\\x-1|<2},则集合(CRA)nB的

元素个数为

A.1B.2C.3D.4

3.设等差数列{即}的前n项的和为又，满足2a3-=7,+57=12厕S”的最大值为

A.14B.16C.18D.20

4.已知(2x+ay)(x-2y>的所有项的系数和为3,则/y3的系数为

A.80B.40C.-80D.-40

5.已知圆。的直径48=4,动点M满足=我”8,则点M的轨迹与圆。的相交弦长为

A.竽B.殍C.乎D.2V2

6.设函数/(x)=1f+2"+l,则函数y=/(/(£)-1)-1的零点个数为

(Inx%>0

A.4B.5C.6D.7

7.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别

为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为

A.40B.36C.56D.48

8.已知a=sin,,b=与，c=In2,则a,b,c的大小关系为

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

湖北省新高考联考协作体*数学试卷(共4页)第1页

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是

A.若直线(a-l)x+y-1=0与直线2x+ay-2=0平行，则a=2或一1

B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5

C.设随机变量X〜B(12,1,则P(X=k)最大时，k=6

D.在AABC中，若acosA=bcosB,则为等腰三角形

10.已知函数/(x)=sinxcosx+百cos?%—F,贝

A.点(g,0)为丫=/(%)的一个对称中心

B.函数y=/(x)在区间(一会一:)上单调递增

C.函数y=2f(x)在区间［0,：］上的值域为［1,2］

D.若函数y=f(x)在区间［0,a］上只有一条对称轴和一个对称中心，则a<^7T

11.在边长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，点M,N,P分别为AB,44i，的中点，则

A.PN"平面A［BC［B.点8到平面的距离为日

C.DiN、DA.CM相交于一点D.平面与正方体的截面的周长为6位

12.己知双曲线％2一1=1的左右顶点为公,4,左右焦点为尸1，尸2，直线，与双曲线的左

右两支分别交于P,Q两点，则

A.若4尸12尸2=p则APF/2的面积为2百

B.存在弦PQ的中点为(1,1),此时直线/的方程为2x-y-1=0

C.若P4的斜率的范围为［一8,-4］,则PA2的斜率的范围为

D.直线/与双曲线的两条渐近线分别交于MN两点，则PM=NQ

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若向量彼=Q,k)石=(2,—1),且忖+2同=\a-2b\,则方+E与工的夹角为.

14.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费力

(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费为(单

位：万元)与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则yi与y2分别为4万元和

16万元.则当两项费用之和最小时x=(单位：km).

15.已知直线y=kx-1是曲线y=x4-In%与抛物线y=ax24-(2-2a)x-3的公切线，

贝!Ja=.

16.在AABC中，AB=AC=y［10,BC=2,将LABC绕着边BC逆时针旋转g后得到ADBC,

则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为.

湖北省新高考联考协作体*数学试卷(共4页)第2页

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列｛斯｝的首项即=：,满足a计1=碧（九€可+）.

（1）求证：数列｛1｝为等比数列；

（2）记数列f-］的前n项的和为,求满足条件7n<100的最大正整数71.

I斯）

18.（12分）已知a,b,c为A4BC的三个内角4B,1的对边,且满足:

acosB+V3asinB—b—c=0

（1）求角A；

（2）若A4BC的外接圆半径为竽，求AABC的周长的最大值.

19.（12分）如图所示，在三棱柱4DF-BCE中，侧面4BCD是边长为2的菱形，/.ABC=；

侧面ZBEF为矩形，AF=4,且平面4BCD1平面4BEF.

（1）求证：BD1CF：

（2）设M是线段4F上的动点，试确定点M的位置,

使二面角M-BC-D的余弦值为早.

20.（12分）为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法,

调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：

肺癌

吸烟非肺癌患者肺癌患者合计

非吸烟者251035

吸烟者155065

合计4060100

湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第3页

(1)依据小概率a=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险；

(2)从这100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取5人，再从这5人中随机抽2人,

记这2人中不患肺癌的人数为X,求X的分布列和均值；

(3)某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名肺癌

患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传,

请说明理由.

参考公式和数据:

其中；且%=

⑴，=(.盗£；；芳)n=a+b+c+d000110.828.

⑵0.98«0.430;概率低于0.08的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几

乎不发生的.

21.(12分)已知函数/(%)=gad一％一2Inx

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数/(%)>0在其定义域内恒成立，求a的范围.

22.(12分)已知椭圆E:/l(a>b>0)的离心率e=¥，且经过点(仿-1).

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线=kx+m与椭圆E交于4B两点，且椭圆E上存在点M,使得四边形

04MB为平行四边形.试探究：四边形0AM8的面积是否为定值？若是定值，求出四边

形(MMB的面积；若不是定值，请说明理由.

湖北省新高考联考协作体*数学试卷(共4页)第4页

2023年湖北省高三9月起点考试谓在:各题目的挣超K域内作答•超出黑色地形边桥限定区域的拧案无效谓作各题目的答题区域内作答•超出果色地形边框限定IX.域的答窠无效

高三数学答题卡17.（续）19.（本小题满分12分）

注

I.niMw.与lit络口己的M.Z.准号酒柴.并认"物准条形眄1:的拄g,盘写城；；，任她定的仙代贴好条形眄.

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W回9©18.（本小题满分12分）

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谙在:各一”的答题区域内作答•超出黑色矩形边楙限定区域的答案无效

填空题

13.14.

15.16.

解答题

17.（本小题满分10分）

请在各题II的答题区域内作答•描出黑色矩形边框限定M域的答案无效请在各题目的答题区域内作答.超出黑色矩形边框限定区域的答案无效W在各期目的终期区域内作答.超出黑色阴形边框限定区域的捽案无效

湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共2页）第I页

请作各题目的答鹿区域内作答•超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答.超出黑色矩形边忤限定K域的答案无效iff作各题目的答题K域内作挣•超出黑色矩影边框限定K城的答案无效

20.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）22.（本小题满分12分）

清在各&目的挣题区域内作答•超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答.超出黑色用形边框限定区域的答案无效请在各SS目的答SS区域内作答，超出黑色用形边框限定区域的答案无效

湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共2页）第2页

2023年湖北省高三9月起点考试

高三数学答案

题号123456789101112

答案0BBDACDABCACACDACD

填空题：13.-14.515.-216.—

49

1.由于z===字=2=手，则2的虚部为,，故选以

l+i222

2.由于集合4=\x\x>4^x<1],集合B={xeZ\-l<x<3]={-1,0,1,2,3},

从而(CRA)n8=(1,4)n{-1,0,1,2,3}={2,3},故元素个数为2,故选B.

3.设{册}的首项为由,公差为d,则7=2(%+2砌一(%+44)=%,

又(。1+d)+(7QI+2Id)=12=Q]=7,d=-2,

则%=7-2(n-1)=9-2n>0=l<n<4,

从而数列得前4项为正，其余项为负，故治的最大值为S4=16,故选B。

4.由已知可得:(24-a)=3na=l,

所以(2%+y)(x—2y>=(2x+y)(—32xy3+24%2y2+...)=_40x2y3+…

则x2y3的系数为-40，故选Do

5•明显，圆。的半径为2,其方程为：％2+/=4①

可设4(-2,0)，8(2,0),动点M(x,y)

由M4=y/2MB,从而有^/(x+2)2+y2=A/2,^/(x+2)24-y2

化简得：x2+y2-12x+4=0②

由①一②可得相交弦的方程为：x=|带入式①可求出y=±殍，

故相交弦长为苧，故选A。

6.令£=/(x)-1,则亦有/(t)=1,可求出t=-2或0或e

从而有/(%)=1+1=-1或1或0+1,从而相应方程的根的个数分别为1或3或2,

故函数y=/(/(%)-1)-1的零点个数为6,故选C。

7.设这5个人分别为:ABCDE,则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻。

第一类：A在BC中间，此时再把D与E插空到这3人中间，

此时的不同的演讲顺序有//=24

第二类：A不在BC中间，此时先考虑B与C和D与E,他们的顺序应相间排列，最后考虑

A,此时的不同的演讲顺序有度度超&=24

综上可得：总共有48种不同的演讲顺序，故选D。

8.对于a,由sinx<久(0<x<小,贝"sing<«0.63，故a<0.63；

对于b,b=与>浮^=券=0.8,故b>0.8；

232

对于c,由于(e§)=e2«7.39<8=23,则由V2,从而可得In2>|弋0.67

同理，(药=e3a20.08>16=24,则e彳>2,从而可得In2<*=0.75

所以有0.67Vc=In2Vo.75

综上有：a<c<b故选A。

湖北省新高考联考协作体*数学答案(共6页)第1页

9.对于A,由两直线平行可得：a(a-l)=2na=2或一1

又a=2时，两直线重合，舍去；经检验a=—1符合题意，故A错误。

对于B,这6个数据按从小到大排序为：123578,由6x60%=3.6,

则这组数据第60%分位数为第4个数，即为5,故B正确。

对于C,由(n+l)p=13xg=6.5,从而k=6时P(X=k)最大，故C正确。

对于D,由acosA=bcosB,可得sin4cos4=sinBcosB,

=sin(2A)=sin(28)，又0<24、2B<2n,则有24=2B或2A+28=兀，

nA=B或4+B=],故A4BC为等腰三角形或直角三角形，故D不正确。

10.明显/(x)=；sin(2x)+与[1+cos(2x)]—4=sin(2x+g)

对于A明显成立，故A正确

对于B令t=2x+弓，由xe(―5,—则tef—

明显：te(一手一；)即xe(-泉一用时y=/(x)递减，故B不正确

对于C由t=2%+卜,及xG[o用则tG[py]=>sinte[1,1],

则y=2/(x)在区间[0用上的值域为[1,2],故C正确

对于D由t=2x+g,及xe[0,a]则te仁,2a+Q由题意可知：n<2a+^<^-

OLOOJO4

从而得：，故D不正确

11.对于A明显有PN〃8Ci又BCi£平面ABC1，PN生平面A[BC]

仄而PN〃平面AiBCi成立,故A正确

对于B由等体积法：VB-PMN=Vp-BMN,

明显有：ABMN的面积为Si,点P到A8MN的距离为由=1,

又在APMN中，PN=MN=五,PM=显,可求出APMN的面积为S2=亨，

从而可得：|x^xd2=ix|xl042=亨，故B不正确

对于C由于MN〃CDi，则DiMCM相交于一点G,

从而有G€CMU平面ABCD,G€%NU平面441%。

则可得G€平面力BCDn平面44W1D=AD,即GGAD

所以有DiN,D4cM相交于一点G,故C正确

对于D平面PMN与正方体的截面为边长为VI正六边形PNMEFH,

(点E,F,H分别为B&CCiCDi的中点)则其周长为6位，故D正确

12.在双曲线％2-9=1中，a=l,b=V2,c=V3

且4(—1,O),4。,0),心(一8，0),F2(V3,0)

对于A设P%=m,P尸2=九，由双曲线定义得：m-n=2,

两边平方可得：m2+n2—2mn=4①

2

在APF/2中，由余弦定理可得：m24-n2—2mncos=(2A/3)

=>m2+n2—mn=12②联立①②可得：mn=8

故APF[F2的面积为如rising=jx8xy=2后，故A正确

对于B由中点弦公式：4=孕=等=2,此时直线，的方程为y=2x-l

(1XQ1X1

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带入双曲线的方程消去y可得：2d一4x+3=0,此时△=_8<0,

此时直线/与双曲线无公共点，说明此时直线［不存在，故B不正确

2

对于C设P(?n,7i),则——y=1=>n2=2(m2—1)

又直线P4与P期的斜率的乘积的心=焉,号=若=空呼=21

由于心€［-8,-4］从而可得：k2G.故c正确

对于D设直线l:y=kx+m带入/—y=A(X)

(说明：4=1时(X)式表示双曲线；4=0时(X)式表示双曲线的两条渐近线)

得(I—2)x2+2kmx+m2+2A=0,应满足：(炉—2)。0,△>0

且明显有：与+小=舞(与4无关)

这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故有PM=NQ成立，故D正确。

13.由于|a+2bl=\a-2b\0a1&»从而0=a・b=2—k=>fc=2,

则a+b=(3,1)，又b=(2,-1),则a+b与b的夹角的余弦值为cos6=屋后=”，

,vlO'V52

则a+b与b的夹角为彳。

4

14.由已知可设：乃=,，丫2=卜2久，且这两个函数分别过(10,4),(10,16),

得好=10x4=40,fc2==|>从而yi=¥，%=£(x>0),

成yi+乃=竺+管22户?=16,当也=?即x=S时等号成立。

x5yjx5x5

15.先考虑、=kv-1与y=%+Inx相切，设切点的横坐标为勺,

由y=x+Inx,则y，=1+：,

由相切的性质可得：①kxo—l=xo+lnxo及②k=1+工

x0

由②知：kxQ=1+x0带入①可求出：In%。=0,从而有%o=1=k=2

再考虑y=2%—1与y=ax2+(2—2d)x—3相切

联立方程，消去y,可得：Q/-2ax-2=0=Q=-2(a=0舍去)。

16.如图所示，取BC的中点E,连接AE,DE,则明显有/4E。=等，

由于A4BC与ABCO的外心G与F分另U在4E与DE上，

则三棱锥。-ABC的外接球的球心。在过点G且与平面力BC垂直的直线上。

由对称性可知：/OEG=三，易求出力E=3,设AG=CG=%，则GE=3-x

在RtACEG中，有d=1+(3-£)2=%=|,则AG=|

又在RtAOEG中，Z0EG==>0G=手，

从而在RtAOAG中，R2=。62+AG2=竺弁=言，

99

所以三棱锥。-ABC的外接球的表面积S=4nR2=等。

17.解：⑴由于即+1=言,=七="直，

即a-1Td)(n6N+)…(3分)

又.I号,所以数歹脍一1｝是首项为3,公比为的g等比数列…(5分)

⑵由⑴可知小—1=卜6广=91+打©7…伯分)

湖北省新高考联考协作体*数学答案(共6页)第3页

则7n=葭+|[1一®"]，且G关于n是递增的…（8分）

又799<100,T100>100，所以满足条件的最大正整数n=99…（10分）

18.解：（1）由已知可得：sinAcosB+V3sinAsinB=sinB4-sinC

=sinB+sin(4+8)=sinB+sin4cosB+sin8cosA••・(2分)

由于sinB>0,则有1=V5sinA—cosA=2sin（4—看）=sin（4—…（4分）

又。<4<兀，则有一<4—，所以有=4=弓…（6分）

（2）由正弦定理可知：/4=2R=乎，则由4=f=a=2…（7分）

sin433'，

又有余弦定理可知：a2=b2+c2—2bccosA=>4=b24-c2—6c…(8分)

由于〃4-c2>2bc,则有4=b2+c2—be>2bc-be=be,即be<4,・・(9分)

又4=匕2+—儿=(b+c)2—3bc,即(b+c)2=44-3bc<44-3x4=16

从而b+c<4（当力=c=2等号成立）・・・（11分）

则a+b+cW6，故A4BC的周长的最大值为6・・・（12分）

19.（1）证明：连接4C,在矩形ABE/中，明显有：AFLAB

又平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDn平面ABEF=AB

从而可得：AF1平面ABCD,又BD7平面ABCD,

从而可得：AF1BD…（3分）

又在菱形力BCD中AC1BD且4CC\AF=A

则BO1平面ACF又CFc平面ACF则B。1CF…（5分）

（2）如图，建立空间直角坐标系，设M（0,0,t）（0<t<4）,且B（2,0,0）,

C(l,V3,0),则配=(-1,V3,0),BM=(-2,0,t)…(7分)

设m=(x,y,z)是平面MBC的一个法向量，

由0=m-BC=—x+V3y及0=m♦BM=-2x+tz

故可取„1=(百3t,2V3)•••(9分)

又明显，平面BCD的一个法向量为n=（0,0,1）…（10分）

由已知有-Icos（m,n）|=下产=1=2…（11分）

711V12+4t2'7

所以点M为AF的中点，使二面角M-BC-D的余弦值为苧…（12分）

20.解：（1）零假设为Ho：吸烟与患肺癌之间无关•••（1分）

根据列联表中的数据，计算可得：%2100x(25x50-15x10)2

40x60x35x65

22,161>10,828•••(3分)

273

依据小概率a=0.001的独立性检验，认为为不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险-（4分）

湖北省新高考联考协作体*数学答案（共6页）第4页

（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。

明显：X的所有可能取值为：0,1,2,•••（5分）

且P（X=0）=加/P（x=l）=警=|,^=2）=|=±

故X的分布列为：

X012

331

P

10510

…（7分）

X的均值为E（X）=0x^+1x|+2x^=5…（8分）

（3）随机选取10个