高中数学公式条基础定理

高中数学常用公式及常用结论1.xAxCUAxCUAxA.CU B)CUACUB;CU B)CU CUB3. BA高中数学常用公式及常用结论1.xAxCUAxCUAxA.CU B)CUACUB;CU B)CU CUB3. BA BBABCUBCU CUBCU4.Bcard( B)cardAcardBcard(card( C)cardAcardBcardCcard( card( B)cardC)cardA)card( C)an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1–1个；非空的真子集 –2个6.f(x)ax2bxc(a(1(2顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)f(xa(xx1)(xx2)(a0).7.Nf(x)MNf(x)M[f(x)M][f(x)N]f(x)NM|f(x)0Mf22 .f(x) Mf(x)0在(k1k2上有且只有一个实根,与f(k1f(k208.ax2bxc0(a0)k1b(kk内,等价于f(kf(k0,或f(k)0,或f(k0 121122k1k2bk229.二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q,f f(b),f f(p),f(q) f bp,f(p),ff(p),f(q)f x xbp,minf(p),ff(2)当a<0，若xbpq，则fmaxf(p),fminf(p),ff10.f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(mn).f(x)x2pxq设p2xbpq，则fmaxf(p),fminf(p),ff10.f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(mn).f(x)x2pxq设p24q（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或；p2mf(m)f(n)（2）f(x)0在区间(mn内有根的充要条件为f(m)f(n)0或4qm 2f(m)f(n)或或；af(n) af(m)p24q（3）f(x)0在区间(n)内有根的充要条件为f(m)0或.p 211.L（形如,，,，,不同）上含参数(1)0(xL)f(xt)0t为参数)恒成立的充要条件是f(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(xt)0tf(x,t)man0(xLaa(3)f(x)axc0恒成立的充要条件是b0或 .b24acc12.13.是至少有n至多有（n1）至多有n至少有（n1）p或p且p且p或ｐｑ非ｐ或ｐ且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假14.互互为为逆逆否否15.pqp是qqpp是qpqqpp是q16.(1)x1x214.互互为为逆逆否否15.pqp是qqpp是qpqqpp是q16.(1)x1x2a,bx1x2f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0)f(x))0f(x)在a,b上是增函数；f(x)在a,b上是减函数.(xf 12x )f(x)f(x)0(x 12x (2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)f(x)0，则f(x)f(xgx)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.yyf(xf(xa)f(xa)yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa.f(xxR),f(xa)f(bxyf(x)aax;两个函数yf(xayf(b22a21.若f(x)f(x,则函数yf(x)的图象关于点 ,2对称;f(x)f(xa,则函数yf(x为周期为2axn1x22．P(x)aa0n多项式函数P(x)P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.函数yf(x)(1)yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(af(2ax)f(x)yf(xxab对称f(amx)f(b2f(abf(2ax)f(x)yf(xxab对称f(amx)f(b2f(abmx)f(mx).f(xyf(xx0yyyaf(mxa)yf(bmx)的图象关于直线xf(xyf1(x25yf(x的图象右移a、上移byf(xa)b的图f(xy)0的图象右移a、上移bf(xayb)0f(a)bf1(b)a27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1[f1x)b]k1[f(x)bkyf1(kxb,而函yf1(kxb28.(1)正比例函数f(x)cxf(xy)f(xfy),f(1)cf(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0(2)(3)对数函数f(x)logaxf(xy)f(x)fy),f(a)1(a0a1f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1)(4)(5)f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)fyg(x)gyg(x)f(0)1,x29.（1）f(x)f(xa，则f(x)（2）f(x)f(xa)0f(xa1f(x)0)f1f(xa(f(x)0)f1f(xa),(f(x0,1)或f(x)f2(x)f(x)2(3)f(x1 f(x)0)f(x)T=3a；f(x)f(x1)f(x2f(xf(a)1(f(xf(x1,0|xx|2a)，则 12 1f(x)f(x f(x)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(xf(x)f(xa)f(x2a)f(x3af(x4a,则f(x)的周期(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)T=6a.m(1)an1 （a0,mnNnnm(2) （a0,mnNnnma31．m(1)an1 （a0,mnNnnm(2) （a0,mnNnnma31．(na)nana|a|a,ana,a.32．arasars(a0,r,sQ)(ar)sars(a0,r,s(3)(ab)rarbr(a0,b0,ra＞0，pap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性33logaNbabN(a0,a1,N0)34logmNa0a1m0,且m1,N0alogmn mba0a1mn0,且m1n1,N0推论a35．a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，(1)loga(MN)logaMlogaNM(2)log logaMlogaNN(3)logaMnnlogM(nR)设函数f(x)loag(axbxc)(a0)b4ac.若f(x)的定义域为 Ra0，且0f(x)R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单a0b0x0x1yloga1(1)当ab时,在 a ya(bx)为增函和1a1 (2)ab时,在)和(,ylogax(bxa推论:nm1p0a0a1（1）logmp(np)n2mn（2）logmlognaaa2如果原来产值的基础数为NyN(1p)xx的总产值py，有n{a}nsaaaan ,nn n 40.an2mn（2）logmlognaaa2如果原来产值的基础数为NyN(1p)xx的总产值py，有n{a}nsaaaan ,nn n 40.ana1(n1)ddna1d(nN*)n(a1ann(n1)sn122 n2(a1d)nd12241.aaa (nN1n*； q1sna1anq,q1.n42.等比差数列anan1qanda1b(q0)b(n1)d,qabq(d d,qn；nqnbn(n1)d,(qd1s .dnn,(q1 q 143.分期付款(按揭贷款元(贷款a元,n次还清,每期利率为b(1b)n44（1）若x )，则sinxxtanx2(2)若x )，则1sinxcosx 22|sinx||cosx|45.sin2cos21，tan=sin，(2)若x )，则1sinxcosx 22|sinx||cosx|45.sin2cos21，tan=sin，tancot46.n(1)2 )2 2n(1)2coco )2 247.sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan(). tantansin(sin(sin2sin2asinbcos=a2b2sin((辅助角所在象限由点(ab)的象限决定,tanba48.sin2sincoscos2cos2sin22cos2112sin22tan2.1tan249.sin33sin4sin34sinsin()sin()33cos34cos33cos4coscos()cos(.33tan33tantan3tan )tan(.313tan2350. ；函数ytan(x)，xk ,kZ(A,ω,为常数，且2.51.abc2RsinAsinBsin52.a2b2c2abc2RsinAsinBsin52.a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.（1）S1ah1bh1ch（h、h、hab 222（2）S1absinC1bcsinA1casinB222(|OA||OB|)2(OAOB)2(3)254.在△ABCABCCACA2C22(AB) sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k ),kZ2tanxa(aR)x(k ,karctana),kZ2(1)a·b=b·a（交换律(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60．a(x1y1,b=(x2y2)b0ab(b0x1y2x2不共线的向量e1、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60．a(x1y1,b=(x2y2)b0ab(b0x1y2x253.aba·b=|a61.a·b0a·ba的长度|a|ba的方向上的投影|b|cosθ62.(1)a(x1,y1,b(x2,y2)a+b(x1x2,y1y2(2)a(x1,y1,b(x2,y2)ab(x1x2,y1y2(3)A(x1,y1，B(x2,y2)ABOBOA(x2x1,y2y1a(x,y),R，则a=(xy)(4)(5)a(x1,y1,b(x2,y2)a·b(x1x2y1y2).63.两向量的夹角公式 xxycos12 1 (a=(x,y),b=(x,y) x2x2 64.dA,B=|ABAB (x2x1)2y2y1)2(A(x1y1，B(x2,y2).设a=(x1,y1),b=(x2,y2)， 0，bA||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y266.0xx1OPOP11yy1121OPtOP(1t)OP（t111267.△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC标是G(x1x2x3,y1y2y3368.3x'x xx'OP'OPPP'yy'Pxy，且PP的坐标为(hkP'(xh,yk)（1）P(xya(hk(2)函数yf(x)的图象C按向量a(hk)平移后得到图象CC'的函数解析yf(xk图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C(2)函数yf(x)的图象C按向量a(hk)平移后得到图象CC'的函数解析yf(xk图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析 f(x),则C'的函数解析式为yyf(xh)kf(x,y)C'C'的方程为C:按向量a(hk)平移后得到图象f(xh,yk)(5)m=x,y按向量a=(hkmx,y70.设O为ABC所在平面上一点，角ABC所对边长分别为abc222（1）O为ABC的外心OBOCO为ABC的重心OAOBOC0O为ABC的垂心OAOBOBOCOCO为ABC的内心aOAbOBcOC0O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.（1）abRa2b22ab（2）a,bRa aba＝b2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c（4）(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dababab72.极值定理x,y（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值 p1s2xysxyxy4x,yR，则有(xy)2(xy)2xy是定值,则当|xy||xy|最大；当|xy||xy|最小.若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)a0,b24ac0)，如果ax1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)ax2bxxx1,或xx2(xx1)(xx20(x1x2a>0时，有aaaxxx.ax2xaxa75.f(x)f(x) g(x)g(x).f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)或.g(f(x)f(x) g(x)g(x).f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)或.g(x)f(x)2f(x)f(x)g(x)g(x).f(x)2(1)当a1时,f(x)g(x);af(x)ag(f(x)logf(x)logg(x)g(x).aaf(x)(2)当0a1f(x)g(x);af(x)ag(f(x)logf(x)logg(x)g(x)aaf(x)77.y2k（P(xyP(xy x 78.点斜式yy1k(xx1)(直线lP1(x1,y1，且斜率为k斜截式ykxb(blyyy1xx1((xP(xyP(xy（3） yx xy(4) （5）一般式AxByC0(A、B0).(1)若l1yk1xb1l2yk2x①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k2(2)若l1A1xB1yC10l2A2xB2y0,A1、A2、B1、B2都不为零A1B1①l||； ②l1l2A1A2B1B280.|k2k1|(1)1k2(l1:yk1x|k2k1|(1)1k2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2(2)tan|A1B2A2B1|(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B202直线l1l2l1l2.l1到l2(1)tank2k11(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2A1B2A2B1(2)tan(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B202直线l1l2l1l282．.(1)P0(x0,y0的直线系方程为yy0k(xx0x),其中k是待定的系 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0Byy00AB共点直线系方程：经过两直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20(除l2)，其中λ是待定的系数．AxByC0AxBy00)，λ是垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)BxAy0,λ83.|Ax0By0C|(,d,直线lAxByC0 A284.AxByC0或0设直线l:AxByC0AxByC0或0B0，当BAxByC同号时，表示直线lBAxBy异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下B0AAxByC同号时，表示直线lAAxBy异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左85.A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线CA1xB1yC1)(A2xB2yC20（A1A2B1B20，则A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：A1xB1yC1)(A2xB2yC20A1xB1yC1)(A2xB2yC2086.(xa)2A1xB1yC1)(A2xB2yC2086.(xa)2(yb)2r2（1）（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0D2E24Fxarybr（3）.（4）圆的直径式方程(xx1)(xx2yy1yy20A(x1,y1B(x2,y287.(1A(x1y1B(x2y2(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)](xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)AB的方程,λ(2过直线lAxByC0Cx2y2DxEyF0的交点的圆系方程x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．(3)过圆C1x2y2D1xE1yF10与圆C2x2y2D2xE2yF20axbyc点的圆系方程是x2y2DxEyF(x2y2DxEyF)0,λ是待定的 22288.P(x0,y0与圆(xa)2yb)2r2若d (ax0)2(by0)2，drPdrPdrP89.AxByC0与圆(xa)2yb)2r2dr相离0;dr相切0;dr相交0d.B90.O1，O2r1，r2dr1r24条公切线dr1r2外切3条公切线r1dr1r22条公切线dr10dr1无公切线91.(1)x2y2DxEyF0①若已知切点(x0y0AaBbyD(x0x)E(y0y)0xx 22yD(x0x)E(y0y)(x,y圆外时,xx0表示过两个切点 22yy0k(xx0)k，ykxbb，x2y2r2P0(x0y0x0xy0yr2kykxyD(x0x)E(y0y)0xx 22yD(x0x)E(y0y)(x,y圆外时,xx0表示过两个切点 22yy0k(xx0)k，ykxbb，x2y2r2P0(x0y0x0xy0yr2kykxr1k.xa椭 1(ab0)的参数方程 椭 1(ab0)焦半径公 .ybace(a2.ce(x)，94．（1）点P(x0,y0)在椭 1(ab0)的内部 1 00 （2）点P(x0,y0)在椭 1(ab0)的外部 100 95.xy(1)椭 1(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程 010 （2）1(ab0P(x0y0x0xy0y （3）椭 1(ab0)与直线AxByC0相切的条是B2b2c2 1(a0,b0)96. |e(xa2)，|e(cx)|c97.1(a0,b0)的内部100(1)P(x0,y0 1(a0,b0)的外部1(2)P(x0,y000 98.y1ybx0 a0xyx (2)yba xyxyb21有公共渐近线，可设 （0，焦点在x22ab99.x y 1(a0,b0)上一点Py1ybx0 a0xyx (2)yba xyxyb21有公共渐近线，可设 （0，焦点在x22ab99.x y 1(a0,b0)上一点P(x,y)处的切线方程 100 1(a0,b0)P(xy x0xy0y （3）双曲 1(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件B2b2c22pxp2pxp0)x0 2ppCDx xxp12 222y 2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)yP(xy22px4acb102.二次函数yaxbxca(x )22b,4acb2b点坐标为 ；（3）准线方程 y4acb2.103. 2px(p0)的内部y22px(p0)点P(x0,y0)在抛物 2px(p0)的外部y22px(p0) 2px(p0)的内部y22px(p0)点P(x0,y0)在抛物 2px(p0)的外部y22px(p0) 2py(p0)的内部x22py(p0) 2py(p0)的外部x22py(p0)(4)点P(x,y)在抛物 2py(p0)的内部x22py(p0) 点 2py(p0)的外部x22py(p0), 104.2pxP(x0y0y0yp(xx0)y2px外一P(x0,y0所引两条切线的切点弦方2pxP(x0y0y0yp(xx0)y2px外一P(x0,y0所引两条切线的切点弦方程2pxp0)AxByC0pB22AC105.(1)f1(xy0f2(xy0f1(x,yf2(x,y)0为参数1kmax{a2,b2}(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程a2 b2kmin{a2,b2}时,表示椭圆;当min{a2,b2kmax{a2b2 (x1x2)2y1y2)2106. (1k2)(xx)2|xx1tan2|yy|1cot2（弦端点 ykx00,bx(xyB(xy，由方yaxF(x,y) F(xy)0P(x0y0F(2x0-x2y0y0F(x,y)0AxByC0F(x2A(AxByC),y2B(AxByC))0A2A2Ax2BxyCy2DxEyF0，用xxx2，用yyy2 xy用 0代xy，x0y0y222xBx0yxy0CyyDx0Ey0F000222109．112113115113115c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推117共线向量定对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λP、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOBAB||CDAB、CDAB、CD不共线ABtCDAB、CD不共线.pa、b共面的x,ypaxby推论空间一点PMAB内的x,y,使MPxMAyMB，或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.119.对空间任一点O和不共线的三点A、BCOPxOAyOB（xyzk）k1时，对于空间任一点OP、A、B、Ck时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平ABC，则P、A、B、C四点不共A、BC、D四点共面ADABAC共面OD(1xy)OAxOByOC（O120.ADxAByAC推 x，y，z，使OPxOAyOBzOC121.已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射 ，作点在l上的射 ，A'B'|AB|cos〈ae〉=a·e122a＝(a1a2a3，b＝(b1b2b3(a1b1,a2b2,b3)a＋ba－b(a1b1,a2b2,a3b3；(3)λa＝(a1,a2,a3)(4)a·b＝a1b1a2b2a3b3123.A(x1y1z1，B(x2y2z2ABOBOA=(x2x1,y2y1(4)a·b＝a1b1a2b2a3b3123.A(x1y1z1，B(x2y2z2ABOBOA=(x2x1,y2y1z2z1.a(x1y1z1b(x2y2z2x1aPbab(b0)yy12abab0x1x2y1y2z1z20125.a＝(a1a2a3，b＝(b1b2b3) a1b1a2b2 .cos〈a，b〉a2a2 b2b2 推论(a1b1a2b2a3aa)(bb2 2 126.ABCD中,ACBD所成的角为cos|(AB2CD2)(BC2DA2).2AC127rrcos|a,br |x1x2y1y2z1z2 =|a||b x2y2z2 x2y2z （其中（0o90o）a,b所成角，ab分别表示异面直线a,b的方向向量128.ABAB|AB||marc(m为平面的法向量129.ABCAB的平面成的角ACBC与平面成的角分别是1、,A、B为ABCsin2sin2 Asin2B)sin2.sin21sin2sin2成的角分别是1、2A、B为ABO tan2tan2(sin2A'sin2B')tan212sin21sin2sin2131.二面角lm|m||nm|m||narc或arc（mn为平面的法向量ACα内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AOAB所成的角为1，ABAC2m|m||nm|m||narc或arc（mn为平面的法向量ACα内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AOAB所成的角为1，ABAC2，AO133.的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是若夹在平面角为角的棱所成的角是θ，则有sin2sin2sin2sin22sinsin |12|18012)(当且仅当90134.A(x1y1z1，B(x2,y2z2; (xx)2(yy)2(zzdA,B=|AB135.点Q到直线AB距. h|a136.|CDn|(l,d是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是ll上任一点，d11|nl1,间的距离137.B到平面|ABn|（n为平面AB是经过面Ad|n138.h2m2 2mncosddh2m2n22mncosEA',AFh2m2n22mn（EAA'FdmAA的长度为h.a、bE、FAFn,EFd (abc)2abc2ab2bc2c abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有lllcoscos2cos21sin2sin2sin22 2 123123141.SS.SS，它们所在平面所成锐二面角的为142.已知斜棱柱的侧棱长是lS斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和c1S1S斜棱柱侧c1lV斜棱柱S1l.142.已知斜棱柱的侧棱长是lS斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和c1S1S斜棱柱侧c1lV斜棱柱S1l.似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的VFE2EE1nF21F（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E mV2其体积V4R33S4R2长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)66 a,外接球的半径 a4148． 1Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高柱3 1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高锥3Nm1m2mnNm1m2 mn. m=n(n(nm1)nm∈N，且Am*n(n注:规定0!152.(1）Am(nm1)Am1nnn（2）Am;nn（3）AmnAm1n（4）nAnAn1An （5）AmAmmAm1 (6)1!22!153.nnn(1）Am(nm1)Am1nnn（2）Am;nn（3）AmnAm1n（4）nAnAn1An （5）AmAmmAm1 (6)1!22!153.nnn!(nn(n1)(nmn∈N*mN，且mCm=n=nm！(n12m154.(1)Cm=Cnm Cm+Cm1=C. 注:规定C01n155.nm1Cm1（1）Cmnnm Cm（2）;nnmCm1（3）nn C=2nr（5）CrCr1 r r (6)C0C1C2 2n nn(7)C1C3C5C0C2C42n1 (8)C12C23C3nCnn2n1nnnn(9)CrCC0r.m (C1)2(C2)2(Cn)2(10)(C0.nnnn156..nn157以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列（1Am1（补集思想 nAm1（着眼位置）Am1（着眼元素）种n1nn m1nk(kmn)个元在固定位的排列有Ak种knnkAnk1Ak种.nk1组互不能挨近的所有排列数有Ah 种hh（3）nk(kmn)个元在固定位的排列有Ak种knnkAnk1Ak种.nk1组互不能挨近的所有排列数有Ah 种hh（3）nm1时，无解；当nm1Cn种排法n（4）mn.m158（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n(mn)!NCnCn （2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分 ...Cn N n.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2nm个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1n2nm件，且n1n2nm这mNCn...Cn. mp pn!n!...n1 （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm个物体分给mn1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这maCn1Cn...Cnmb、cN .n1!n2!...nm（5）非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm个物体分为任意的n1 .（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2nm个物体分为任意的n1N.（7Cn1Cn...CnmN.p pn!n!...n1 n封信与贝努利装错笺问题:个信封全部错位的组合数为f(n)n![1 11(1)n1] n个元素与 个位置,其中至少有推广个元素错位的不同组合总数为f(n,m)n!C1(n1)!C2(n2)!C3(n3)!C4(nn封信与贝努利装错笺问题:个信封全部错位的组合数为f(n)n![1 11(1)n1] n个元素与 个位置,其中至少有推广个元素错位的不同组合总数为f(n,m)n!C1(n1)!C2(n2)!C3(n3)!C4(nmmmm(1)pCp(n (1)mCm(nmmCm m m m(1) (1)mm]m 160x1+x2++xnmnnm（n,mN）Cn个+xm（nmN）(2)x+x个 n+xnm（nmN）xikkN,2in1)m1(n2)(k+xnm（nmN）xikkN,2in1)正整数解有Cn1(1)n2个 n2mn2 m1(n2)161.C1an1bC2an2bCranr(ab)nC0anCnbn;nnnnnm.P(A)nn＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(k)CP(1 knn168.（1）Pi0(i1, )（2）P1P2169. xnPn170.（1）E(ab)aE()b（2）若～B(n,p)Enp若P(kg(kpqk1pE1p171.DE2xE2xE21 2nn172.=D.(1)Daba2D(2）若～B(n,p)Dnp(1p若P(若P(kg(kpqk1pE1p171.DE2xE2xE21 2nn172.=D.(1)Daba2D(2）若～B(n,p)Dnp(1p若P(kg(kpqk1pDqDE2E2.175.x 2,x,fx，式中的实数μe>0）是参数，分别表示176.21x,x,f e2177.对于N ，取值小于x的概2x x.Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1 . 178.nxixyiynnyabx，其中xinxb nxi2nx.x2ay179.xixyiyr nnxixyiy .nnnn(xx)2(ynx ny2 222iiii|q|q（1）limqn.(kank nk(kk（2）k t.tbtn |q|q（1）limqn.(kank nk(kk（2）k t.tbtn t 不存t(ka11qna（3）S|q|1)的和S a11181.limf(x)limf(x)alimf(x)a182.f(x)，g(x)，h(x)（1）g(x)f(x)h(x)x0（2）limg(x)alimh(x)a（常数limf(x)ax的情况仍然成立.（1） 0，liman0（|a|11n11（2）limxx，.0 0184.sin1（1）xx（2）lim1xex185.limf(x)alimg(x)b(1)limfxgxab(2)limfxgxabxfxga b0(3)xb186.limanalimbnb(1)limanbnab(2)limanbnabab(3) nbca(c是常数 187.f(x)x0处的导数（或变化率或微商f(x0x)f(x0)f(x)ab(3) nbca(c是常数 187.f(x)x0处的导数（或变化率或微商f(x0x)f(x0)f(x) x0 0x188.s(tt).s(t) t0 t189.av(t) v(tt).ttf(x)在(a,b)f(xx)fdf f(x)y .x0 191.yf(x)x0函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0yy0f(x0)(xx0192.(1)C0（C(2)(xn) (nQ)(sinx)cosx(cosx)sinx'(5)(lnx)1；(logax)1eaxx(6)(ex)ex;(ax)axlna.（1）(uv)'u'v'（2）(uv)'u'vuv' u'v（3）()v'(v0)194.复合函数的求导法u设函数u (x)在点x处有导x'(x))在点x处有导数，且 y' fu，则复yf，或写作u f'((x))f'(u)'(x)xx11x;1x11x2n(2)(1x)1x(R)；11x1(3)ex1x(4)ln(1x)xsinxx（x为弧度tanxx（x为弧度arctanxx（x为弧度196.f(x0是极大(4)ln(1x)xsinxx（x为弧度tanxx（x为弧度arctanxx（x为弧度196.f(x0是极大（小）值的方f(x)x0（1）如果 附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值f(x)0，右侧f(x)0f(x0（2）如果 附近的左197.abicdiac,bd.（a,b,c,dR198.zabi的模（或绝对值|z|=|abia2.199.(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iacbc(4)(abi)(cdi)i(cdi0)c2d c2d200.z1z2z3Cz1z2z2z1(z1z2z3z1z2z3z1z2z3z1z2z1z3.d|z1z2| (x2x1)2y2y1)2（z1x1y1iz2x2y2i）.z1abiz2cdi对应的向量分别是OZ1OZ2OZOZzz的实部为零 为纯虚数|zz|2| |12 12z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ为非203.实系数一元二次方程ax2bxc0b b2①若b24ac0;②若b24ac0xxb ③若b24ac0R内没有实数根；在复数集Cxb(b24ac)i(b24ac.数学公式数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反数学公式数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反抛物线：y=ax*+bx+yaxbxca>0时开口向上a<0c=0b=0时抛物线对称轴为y轴ya（x+h）*kya乘以（x+h）的平方-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-周长(x-a)2+(y-b)2=r2注：（ab）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0（一）椭圆面积公式：S=πabT，但这两个公式都是通过椭圆周率*短半径*PAI*高sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cotacosα+cos(α+2cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-以及tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+