2024年江西省上饶市玉山县中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江西省上饶市玉山县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）﹣3的倒数为（）A．﹣ B． C．3 D．﹣32．（3分）数字240万用科学记数法表示应为（）A．24×106 B．2.4×105 C．0.24×107 D．2.4×1063．（3分）下列计算正确的是（）A．3x×2x＝6x B．8x2y÷2x2y＝4 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．4．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．56．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边上的两点，，以EF为边向正方形内作矩形EFGH，若矩形EFGH在正方形内可随线段EF进行自由滑动，则正方形的边长的最小值为（）A．2 B．4 C．4 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝．8．（3分）计算：＝．9．（3分）不等式组的解集为．10．（3分）一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一个三角板的斜边上，则∠1的度数为．11．（3分）一个扇形的弧长是20π，圆心角的度数为120°，则扇形的面积为．12．（3分）菱形ABCD中，∠ABC＝30°，点E在对角线BD上，P是菱形上一点，若△APE是以AE为直角边的直角三角形．三、解答题(本大题共6小题，每小题3分，共30分)13．（3分）解方程：．14．（3分）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．15．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2．16．（6分）中考前，为了解各地市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到上饶市的概率是；（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图概率是的方法表示出所有可能的结果，并求出所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的概率．17．（6分）如图，已知正方形ABCD与EFGB，点E在AB上，点G在线段BC的反向延长线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图（1）中，画出AE的中点P；（2）在图（2）中，画出BC的垂直平分线．18．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．（1）直接写出点A，C的坐标．（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝的解析式．四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)19．（8分）为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛“并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．知识竞赛成绩频数分布表组别成绩（分数）人数A95≤x＜100300B90≤x＜95aC85≤x＜90150D80≤x＜85200E75≤x＜80b根据所给信息，解答下列问题．（1）a＝，b＝．（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数．（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图．（4）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数．20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，，延长OD至点E，使∠ABE＝∠ACB．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）若，DE＝1，求AB的长．21．（8分）图（1）是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度（2）是其简化示意图，手机ABCD（为矩形），E为BC的中点，EF﹣26cm，BC与地面GH平行，EF⊥BC．（1）当∠GFH＝120°时，求点E到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH＝40°，BC＝16cm．求点G到直线AB与GF交点的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，＝1.73．结果精确到0.1cm）五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)22．（9分）某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式．（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少（元）最大？（3）若超市要使销售该商品每天获得的利润为1600元，则每天的销售量应为多少件？23．（9分）对于某个函数，若自变量取实数m，其函数值恰好也等于m时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差d称为这个函数的“等量距离”，特别地，规定其“等量距离”d为0．（1）请分别判断函数y＝x﹣1，y＝，y＝x2有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；（2）已知函数y＝2x2﹣bx．①若其“等量距离”为0，求b的值；②若1≤b≤3，求其“等量距离”d的取值范围；③若“等量距离”d≥4，直接写出b的取值范围．六、解答题(12分)24．（12分）（1）发现问题如图（1）在正方形ABCD中，点E，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，发现EF＝BE+FD，请你给出证明过程．（2）类比延伸①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图（3），如果点E，F分别是边BC，且∠EAF＝45°，直接写出EF，DF之间的数量关系．（不要求证明）（3）拓展应用在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，，求EF的长．

2024年江西省上饶市玉山县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）﹣3的倒数为（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．2．（3分）数字240万用科学记数法表示应为（）A．24×106 B．2.4×105 C．0.24×107 D．2.4×106【解答】解：240万＝2400000＝2.4×107．故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．3x×2x＝6x B．8x2y÷2x2y＝4 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．【解答】解：A、3x×2x＝5x2，故此选项错误；B、8x5y÷2x2y＝5，故此选项正确；C、（x﹣y）2＝x2﹣6xy+y2，故此选项错误；D、（﹣x2y3）3＝x4y6，故此选项错误；故选：B．4．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看，是一行两个相邻的矩形．故选：A．5．（3分）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5【解答】解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x2x2＝﹣4，∴x7x2﹣x1﹣x3＝x1x2﹣（x8+x2）＝﹣4+b＝﹣8，∴b＝﹣3，故选：A．6．（3分）如图，E、F是正方形ABCD边上的两点，，以EF为边向正方形内作矩形EFGH，若矩形EFGH在正方形内可随线段EF进行自由滑动，则正方形的边长的最小值为（）A．2 B．4 C．4 D．2【解答】解：连接HF，如图，∵矩形EFGH，∴HG＝EF＝2，EH＝GF＝6，在Rt△EHF中，HF2＝EH2+EF7，∴HF＝，在Rt△HEF和Rt△HGF中，HF为斜边长，∴HF为Rt△EHF和Rt△HGF中的最长边，∴HF为矩形EFGH中最长一条线段，若要使矩形在正方形内可随线段EF进行自由滑动，则AB≥HF＝4，∴正方形边长的最小值为4，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a2﹣1＝（a+7）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣6）．8．（3分）计算：＝﹣1．【解答】解：原式＝﹣2+1＝﹣6．故答案为：﹣1．9．（3分）不等式组的解集为x≤﹣1．【解答】解：，由①得，x≤2，由②得，x≤﹣1，故此不等式组的解集为：x≤﹣4．故答案为：x≤﹣1．10．（3分）一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一个三角板的斜边上，则∠1的度数为75°．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠F＝30°，∴∠1＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，故答案为：75°．11．（3分）一个扇形的弧长是20π，圆心角的度数为120°，则扇形的面积为300π．【解答】解：设扇形所在圆的半径为R，根据题意得20π＝，解得R＝30，∴扇形的面积＝•30•20π＝300π．故答案为：300π．12．（3分）菱形ABCD中，∠ABC＝30°，点E在对角线BD上，P是菱形上一点，若△APE是以AE为直角边的直角三角形或1或．【解答】解：分三种情况：（1）当点P在AB边上时，如图1，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠CBD＝15°，∵∠AED＝45°，∴∠BAE＝30°，∵∠AEP＝90°，∴∠APE＝60°，∴tan∠APE＝tan60°＝；（2）当点P在BC边上时，如图2，∵∠AEP＝90°，∠AED＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠AEB＝∠PEB＝135°，∵BE＝BE，∠ABD＝∠CBD，∴△ABE≌△PBE（ASA），∴BA＝BP，EA＝EP，∵P、C两点重合，∴tan∠APE＝tan45°＝1；（3）当点P在CD边上时，设AP交BD于点G、CG，如图3，四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴EA＝EC，GA＝GC，∵∠EAP＝90°，∴∠AGE＝∠AED＝45°，∴AE＝AG，∴AE＝EC＝CG＝GA，∴四边形AECG是正方形，∵AD∥BC，∠ABC＝30°，∴∠BAD＝150°，∵∠BAE＝30°，∠EAP＝90°，∴∠DAP＝30°，∴∠APC＝60°，∴∠GCP＝30°，在Rt△GCP中，设GP＝aa，∴AE＝AG＝a，AP＝（，∴tan∠APE＝＝＝．综上所述，tan∠APE＝．故答案为：或1或．三、解答题(本大题共6小题，每小题3分，共30分)13．（3分）解方程：．【解答】解：原方程去分母得：3（x﹣2）＝7（x﹣3），整理得：3x﹣3＝2x﹣6，解得：x＝4，经检验，x＝0是原方程的解．14．（3分）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC．求证：∠C＝2∠D．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABC＝2∠D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝2∠D．15．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3a2，其中a＝﹣2﹣，b＝﹣2．【解答】解：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣2a2，＝a2+7ab+b2+2a3+ab﹣2ab﹣b2﹣2a2，＝ab，当a＝﹣2﹣，b＝，原式＝（﹣2﹣）（，＝（﹣2）7﹣（）2＝7．16．（6分）中考前，为了解各地市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动（1）若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到上饶市的概率是；（2）若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图概率是的方法表示出所有可能的结果，并求出所选取的两个市恰好是南昌市和上饶市的概率．【解答】解：（1）∵调研的对象共有5个城市，分别是南昌市、景德镇市、上饶市，∴恰好抽到上饶市的概率是，故答案为：；（2）用A，B，C，D，E代表南昌市、景德镇市、上饶市ABcDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（c，B）（D，B）（E，B）c（A，C）（B，D）（D．O（E，）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）一共有20种等可能的结果，正好是南昌和上饶的结果有2种，则所选取的两个市恰好是南昌和上饶的概率是．17．（6分）如图，已知正方形ABCD与EFGB，点E在AB上，点G在线段BC的反向延长线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图（1）中，画出AE的中点P；（2）在图（2）中，画出BC的垂直平分线．【解答】解：（1）如图（1），连接GE并延长，连接FM交AB于点P，∵E为AB的中点，∴AE＝BE．∵四边形ABCD和四边形EFGB为正方形，∴∠A＝∠GBE＝90°，BG＝BE＝EF，∴∠BGE＝∠AME，∴△BEG≌△AEM（AAS），∴BG＝AM，∴EF＝AM．同理证明△APM≌△EPF，可得AP＝EP，则点P为AE的中点，即点P为所求．（2）如图（2），连接GE并延长，连接AC，相交于点O，则直线MO即为BC的垂直平分线．18．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．（1）直接写出点A，C的坐标．（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝的解析式．【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OD＝2．∴A点坐标为（﹣2，4），2），∵OB∥CD，∴OB：CD＝OA：AD，∴CD＝＝4，∴C点坐标为（6，4），（2）把C（2，3）代入，∴反比例函数的解析式为，把A（﹣2，7），2）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2．四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)19．（8分）为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛“并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．知识竞赛成绩频数分布表组别成绩（分数）人数A95≤x＜100300B90≤x＜95aC85≤x＜90150D80≤x＜85200E75≤x＜80b根据所给信息，解答下列问题．（1）a＝300，b＝50．（2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数．（3）补全知识竞赛成绩频数分布直方图．（4）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数．【解答】解：（1）调查人数：200÷20%＝1000（人），“B组”人数：a＝1000×＝300（人），“E组”人数：1000﹣300﹣200﹣150﹣300＝50（人），故答案为：300，50；（2）360°×＝54°，答：扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数为54°；（3）补全统计图如下：（4）3500×＝175（人），答：该中学学生知识竞赛成绩低于80分的约为175人．20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，，延长OD至点E，使∠ABE＝∠ACB．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）若，DE＝1，求AB的长．【解答】（1）证明：连接OA、OB，∵＝，∴OD垂直平分AB，∴∠OFB＝90°，∠BOD＝∠AOD＝，∵∠ABE＝∠ACB，∠ACB＝，∴∠ABE＝∠AOB，∴∠ABE＝∠BOD，∴∠OBE＝∠ABE+∠ABO＝∠BOD+∠ABO＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BE⊥OB，∴BE与⊙O相切．（2）解：∵BE＝，DE＝1，∴EO＝OD+DE＝OB+2，∵OB2+BE2＝EO7，∴OB2+（）4＝（OB+1）2，解得OB＝2，∴EO＝2+1＝4，∵EO•BF＝△BOE，∴×3BF＝，解得BF＝，∴AB＝2BF＝4×＝，∴AB的长是．21．（8分）图（1）是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度（2）是其简化示意图，手机ABCD（为矩形），E为BC的中点，EF﹣26cm，BC与地面GH平行，EF⊥BC．（1）当∠GFH＝120°时，求点E到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH＝40°，BC＝16cm．求点G到直线AB与GF交点的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，＝1.73．结果精确到0.1cm）【解答】解：（1）设EF所在直线交GH于点M，∵GH∥BC，EF⊥BC，∴FM⊥GH，∵FG＝FH＝13cm，∠GFH＝120°，∴∠GFM＝∠HFM＝60°，∴FM＝FH・cos60°＝13×＝7.5（cm），∵EF＝26cm，∴点E到地面的高度EM＝EF+FM＝32.5cm．（2）如图，延长AB与GF交于点N，∵∠FGH＝40°，FG＝13cm，∴GM＝FG×cos40°≈13x5.77＝10.01（cm），∵E为BC的中点，BC＝16cm，∴BE＝8cm，过点N作NP⊥EM，垂足为P，且NP＝BE＝8cm，易得△FNP∽△FGM，∴，即，∴FN≈10.39m，∴点G到直线AB与GF交点的距离GN＝GF﹣FN＝13﹣10.39≈2.6（cm）．五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)22．（9分）某超市购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式．（2）若超市按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少（元）最大？（3）若超市要使销售该商品每天获得的利润为1600元，则每天的销售量应为多少件？【解答】解：（1）设y＝kx+b，代入（20，（35，解得：，∴y＝﹣x+100；（2）由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣x+100）＝﹣（x﹣60）2+1600，根据二次函数的性质对称轴左侧y随x的增大而增大可知，当x＝55时．w有最大值；（3）由题意可得：﹣（x﹣60）2+1600＝1600，解得：x1＝x2＝60，此时每天的销售量为：y＝﹣x+100＝40（件）．23．（9分）对于某个函数，若自变量取实数m，其函数值恰好也等于m时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差d称为这个函数的“等量距离”，特别地，规定其“等量距离”d为0．（1）请分别判断函数y＝x﹣1，y＝，y＝x2有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；（2）已知函数y＝2x2﹣bx．①若其“等量距离”为0，求b的值；②若1≤b≤3，求其“等量距离”d的取值范围；③若“等量距离”d≥4，直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）由“等量值”的定义可知：当x＝m时，y＝m，y＝x﹣1中，当x＝m，∴函数y＝x﹣1没有“等量值”；y＝中，当x＝m时，解得m＝1或m＝﹣5，∴函数y＝有“等量值”，∴d＝1﹣（﹣5）＝2；y＝x2中，当x＝m时2，解得m＝0或m＝1，∴函数y＝x5有“等量值”，∴d＝1﹣0＝7；（2）①设m是函数y＝2x2﹣bx的“等量值”，∴m＝8m2﹣bm，解得m＝0或m＝，∵函数的“等量距离”为0，∴＝0，∴b＝﹣2；②由①可得：d＝||，∵5≤b≤3，∴1≤≤2，∴8≤d≤2；③∵d＝||，d≥4，∴||≥4，∴≥4或，∴b≥7或b≤﹣9．六、