2014-2023年高考数学真题分享汇编：导数解答题（理科）（解析版）

十年(2014—2023)年高考真题分项汇编一导数解答题

目录

题型一：导数的概念及几何意义...............................1

题型二：导数与函数的单调性................................13

题型三：导数与函数的极值、最值............................23

题型四：导数与函数零点问题................................56

题型五：导数与不等式的证明................................80

题型六：导数与其他知识的交汇题型..........................95

题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题...................106

题型八：导数的综合应用...................................122

题型一：导数的概念及几何意义

1.(2020北京高考•第19题)已知函数/(x)=12-f.

(1)求曲线V=/(X)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线y=〃x)在点&/(/))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S"),求s(f)的最小值.

【答案】(I)2x+y-13=0,(11)32.

【解析】⑴因为〃x)=12-所以析(x)=-2x,

设切点为(Xo，l2-x。)，则-2x0=-2,即/=1,所以切点为(1,11),

由点斜式可得切线方程为：^-H=-2(x-l),即2x+y-13=0.

(II)显然"0,

因为了=/("在点12")处的切线方程为：y_(12-2)=_2f(xT),

令x=0,得夕=r+12,令y=0,得》=匚上"，所以S(f)=：x(r+12)・=^

2t2v'2\t\

/4.L74/2j.1441144

不妨设f>0«<0时，结果一样)，则S⑺/+/；/+—4=/3+24/+岸),

所以S'«)=—(3z2+24-^^)=3(7+87-48)3(r-4)(*+12)_33—2)(1+2)(*+12)

4t4/24/4/2

由S'(f)>0,得r>2,由S'(/)<0,得0</<2,

所以S⑺在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以，=2时，S⑺取得极小值,

也是最小值为义2)="誉=32.

O

2.(2018年高考数学天津(理)•第20题)(本小题满分14分)已知函数［(x)=a',g(x)=log„x,其中a〉1.

⑴求函数力(x)=/(x)-xlna的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)在点(％,/&))处的切线与曲线y=g(x)在点(々,g(X2))处的切线平行，证明

2InIn<2

/+g(%)=一

Ina

(3)证明当时，存在直线/,使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

【答案】(1)解：由己知，〃(x)=/(x)-xlna,则〃'(x)=优Ina-Ina.令〃'(x)=0,解得x=0.

由。＞1,可知当x变化时,力'(X),6(x)的变化情况如下表:

x(-00,0)0(0,+oo)

h\x)-0+

〃(x)\极小值/

所以函数h(x)的单调递减区间为(-00,0),单调递增区间为(0,+8).

(2)证明：由/”(用=罐山区可得曲线歹=/(X)在点(石,/(%))处的切线斜率为〃Inez,

山g'(x)=—,可得曲线y=g(x)在点(当送(马))处的切线斜率为二一，因为这两条切线平行，故有

x\nax2In

a、lna=」一，即(lna『=1.两边取以a为底的对数，得log“x,+%+21og“Ina=0,所以

x2Ina

/、2InIna

项+g(z)=-------------

Ina

(3)证明：曲线y=/(x)在点(须,。*)处的切线4:y-ax,=ax'Ina^x-x,)

曲线》=g(x)在点(x2』0g“X2)处的切线，2：^-logflX2X一

x2\na

I

要证明当时，存在直线/,使/是曲线<=/(%)的切线，也是曲线y=g(%)的切线.

只需证明当〃2时，存在M£(-8,+8),%£(0,+°°)，使得/]与，2重合.

ax'ln«=—①

x\na

即只需证明当时，方程组X2有解,

ax'-xaX}Ina=log.x———②

x“2Ina

由①得々=——'~r，代入②，得优1—X。*lna+%+」-+泡吧=0(3)

〃(lna)InaIna

I

因此只需证明当。2屐时，关于％的方程③存在实数解.

设函数〃(x)=优一工优Ina+X+—匚+,既要证明当。2族时，函数y=〃(x)存在零点.

\naIna

u\x)=l-(ln6f)2X6fV,可知当(-00,0)时，ll\x)>0;当X£(0,+8)时，〃'(x)单调递减，又

/X]

M,(0)=1>0,M,—二=l-a(lnfl)2<0,故存在唯一的x0,且%>0,使得"(%)=0,

((In。)」

即1一(1114)2/优。=0,由此可得“(X)在(—8,%)上单调递增，在(X。,+8)上单调递减，“(x)在x=x。处

取得极大值”(X。).

\_

因为a'e",故Inlnae-l,所以

一12InIna12InIna、2+2InIn。、八

〃(%)=*-xa°Ina+x+——+------=-------+x+-----------------■0.

na27n

InaInax0(lntz)InaIna

下面证明存在实数，，使得鼠。＜0.

由(1)可得，ax1+xlna,当x＞」一时，有

In(7

w(x)4(l+xlna)(]_nlni)+x+^—+2InIn。=_(lnq)2x2+x+l+^—+

V八)InaIntzV)Ina

所以存在实数上使得〃(r)＜0.

因此，当时，存在X]£(-8,+8),使得〃(%)=0.

所以当aNe"时，存在直线/,使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

3.(2020年新高考全国I卷(山东)•第21题)已知函数〃x)=aei—Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线在点(1，/(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若“x巨1,求。的取值范围.

2

【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-1

解析：(DQ/XxXe'—lnx+l,/''(x)=e'—L.•.%=/")=e—l.

X

Q〃l)=e+1,.•.切点坐标为(l,i+e),

...函数f(x)在点(1,/(1)处的切线方程为y-e-l^(e-l)(x-1)，即y=(e-l)x+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二乙,0),

e-1

1-22

.•・所求三角形面积为一x2x|-----1=-------;

2e-1e-1

(2)解法一：Qf(X)=aex~x-Inx+Ina,

/'(x)=aex~x--,且a>0.

x

设g(x)=/'(x)，则g'(x)=+4>0,

X

・・・g&)在(0,+8)上单调递增，即f\x)在(0,+8)上单调递增，

当”1时，广(1)=0,・・・/卜)加〃=*1)=1,・：/卜)21成立.

1111-1

当a>l时,-<1,.".//(-)/,(l)=a(e«-l)(a-l)<0,

二存在唯一%>0,使得/'(x())=ae"T-----=0,且当xe(O,Xo)时/'(x)<0,当xe(x(),+oo)时

xo

x0T1

f\x)>0,/.ae=一,?.Intz+x0-1=-Inx0,

xo

因此/(x)min=/(X。)=ae"-In/+Ina

=FInQ+XQ-1+lnQ22In。-1+21—,XQ=21no+l>l,

X。Vx0

.：/(x)〉1,.：/(x)21恒成立；

当0<a<1时，/(l)=a+lna<a<l,/./(l)<l,/(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数。的取值范围是[1,+8).

解法二：/(x)=aex-'-lnx+Ina=e'"a+x''-Inx+lna>\等价于

e,na+x-'+Ina+x-l>lnx+x=e",x+Inx,

令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g{Ina+x-l)>g(出x),

显然g(x)为单调增函数，.•.又等价于比a+x-12/ax,即/〃a2/〃x-x+l,

令=/〃x—x+l,则=--1=---

在(0,1)上/?'仆)>0,/7㈤单调递增：在(1,+℃)上人仞<0/㈤单调递减，

Ina>0,即a21,的取值范围是口,+8).

4.(2020年新高考全国卷II数学(海南)•第22题)已知函数/(x)=ae'T—Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线产/U)在点(1,火1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若外巨1,求。的取值范围.

2

【答案】⑴--(2)[l,+oo)

e-1

解析：(l)Qf(x)=e*-lnx+l,/''(x)=e*-L二％=/'(l)=e-l.

x

Q/(l)=e+l,.•.切点坐标为(1,1+e),

二函数f(x)在点(1卬)处的切线方程为v-e—1=(e-1)(》T),即y=(e-l)x+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二乙,。)，

e-1

1-22

・・・所求三角形面积为一x2x|---1=----；

2e-1e-1

(2)解法一：Qf(x)=aex~]-Inx+Ina,

f(x)=aex-'--,且a>0.

X

设g(x)=f'(x｝，则gXx)=aex"'+4>0,

X

・・・g(M在(0,+00)上单调递增，即f\x)在(0,+8)上单调递增，

当"1时，/'(I)=0,，/(x)加,,=/'⑴=l,.：/(x)Zl成立.

当时,Li.卜-”d)(⑴=矶力-1)(”1)<0,

...存在唯一%>0,使得/'(%)=40*。7---=0,且当xe(0,/)时/'(x)<0,当xe(x(),+oo)时

xo

xl

f\x)>0,ae0~=—,In<7+x0-1=-Inx0,

因此/(x)min=/(/)=ae"—lnx()+Ina

=—+ln^+x0-l+ln^>21n^-l+2/--x0=21na+l>l,

的Vxo

.：)(x)Nl恒成立;

当0<a<1时，/(I)=a+lna<a<l,.,.,/(1)<l,/(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

xa+x

解法二：f(x)=ae~'-Inx+Ina=e'"~'-Inx+Ina21等价于

x

(“a+x-i>(nx+x=e'"+/〃x,

令g(x)=ev+x，上述不等式等价于g(Ina+x-l)>g(/〃x),

显然g(x)为单调增函数，.•.又等价于/〃a+x-l,UPIna>Inx-x+l,

11_Y

令力(x)=—X+1,则(x)=——1=-----

在(0,1)上〃句>0/㈤单调递增；在(1,+8)上力'⑴<0,力㈤单调递减，

・・•3)2=砌=0，

Ina>0,即a>1,的取值范围是［1,史》).

5.(2018年高考数学浙江卷•第22题)(本题满分15分)已知函数/(x)=4-lnx.

⑴若在x=X，9(须彳马)处导数相等，证明：/(x,)+/(x2)>8-81n2；

（2）若”W3—41n2,证明：对于任意左＞0,直线丁=依+a与曲线y=/（x）有唯一公共点.

【答案】【解法1]⑴函数/'（X）的导函数/'（X）=」=—1，

2Txx

由/'（石）=/'。2）得

1____1_=_1____1_

X]2J%%2

因为王声》2,所以

111

—I-----=—.

x,x22

由基本不等式得

=百+嘉，

因为X]NX2,所以

xxx2>256

/(X|)+/U2)=g-皿芭马).

设

g(x)-y/x-InX.

则

4x

所以

X(0/6)16(16,+8)

g'(x)—0+

g(x)2-41n2/

所以g（x）在[256,+8）上单调递增，故

g(XjX2)>g(256)=8-81n2,

即/(阳)+/(%)>8—8出2

(2)令m==(M±l)2+1，则

k

f(m)-km-a>\a\-^k-k-a>0

J{n}-kn-a<n(—j=------k)<n(-~~『——左)<0

y/nnyjn

所以，存在x0£(“〃)使

/(x0)=hc0+a,

所以，对任意的Q£R及%£(0,+oo),直线y=kx+a曲线歹=f(x)有公共点.

4、；,曰74x-lnx-a

由J(%)—kx-\-a得k—----------------

x

八7/、Vx-lnx

设h(x)=------------

Inx------1+(7/x1

则〃，(1)=—1—=一叫1+」

XX

其中g(x)=^--lnx.

由⑴可知g(x)，g(16)，又。W3-41n2,故

-g(x)-1+aW—g(16)-1+Q=—3+41n2+a<0

所以“(x)KO,即函数〃(x)在(0,+8)上单调递减，因此方程“工)-米-。=0至多1个实根.

综上，当Q《3—41n2时，对于任意后〉0,直线夕=履+。与曲线y=/(x)有唯一公共点.

,16

【解法2】⑴广⑴二^^」，f(x[)=f(x2)=>y[x^=2(7^+7^")=>>

27xx

令1=新三>16,/(%!)+f(x2)=-in(x1%2)=I_2InZ=g(Z)，

1?t-4

g'(t)=-一一=-->0,故g(/)在(16,+8)上单调递增，g(r)>g(16)=8-81n2

2t2t

(2)直线y=AX+Q与曲线y=/'(%)有唯一公共点，则。=•有唯一解，即

y=a与y=J7-lnx-Ax有且只有一个交点，令h(t)=t-2\nt-kt2,

当左W2时，AWO,-2kt2+t-2<0,即〃'(/)WO,此时〃(/)单调递减，又，―0时,

f+00/f+00时，〃⑺―—00，故〃(X)单调且〃(工)£火，即〃(x)=a有唯一解，

、1,11।7/、2c7—2kt?+，—2

Ik>—n时，〃(，)=，----2kt=------------,A>0

16tt

又左=/，(x)=——-即f/4,

2y[xX2tt216

I!n-1.J/X2c7-2kF+E—2t1

此时〃(r)=t----2kt=------------=——21nZ+l>

又〃'(，)=T,/e(0,4),“(/)<0,/e(4,+8),〃'(/)〉0,

2t

故力(/)>〃(4)=3—41n2,即aW3-41n2.

be'八

6.(2014高考数学课标1理科•第21题)设函数/(x)=ae'lnx+——，曲线y=商乃在点(1，/⑴)处的切

X

线y=e(x-1)+2.

(1)求a,b;

⑵证明：/(x)>l.

【答案】解析:⑴函数f(x)的定义域为(O,+8)J0x)=ae'lnx+金'-3"+3

XXX

由题意可得/(l)=2,/'(l)=e，故a=l,b=2.

2e'-'2

⑵由⑴知/(x)=e'lnx+，-从而/(x)>1等价于xlnx—

xe

设函数g(x)=xlnx,则g«x)=x+lnx,所以当xe(0，B时，g'(x)<0,当xe^-,+oojIff,g'(x)>0,故

g(x)在(0,：)单调递减，在g,+8)上单调递增，从而g(x)在(0,+8)上的最小值为g(1)=-:.

设函数"(x)=xe-J=则/«x)=eT(l—x),所以当xe(O,l)时,“(x)>0.当xe(l,+oo)时硬刀)<0,故

e

人(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，从而,(x)g(x)在(0,+8)的最小值为

A(l)=--.

综上:当x>0时,g(x)>〃(x),即/(x)>l.

7.(2019•全国HI•理•第20题)已知函数/(x)=2d-.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)是否存在6,使得/(x)在区间［0,1］的最小值为—1且最大值为1?若存在，求出。力的所有值；若

不存在，说明理由.

【答案】(1)见详解；(2)a=0，b=—1或。=4，b=\.

【官方解析】

(1)f\x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

令/'(x)=0,得x=0或x=1.

若a>0,则当xe(-oo,0)U(1,+oo)时，f'(x)>0；

当xe(0,£)时，r(x)<0.故/(x)在(一8,0),(y,+8)单调

递增，在(0,£)单调递减:

若4=0时，/(X)在(-00,+8)单调递增;

若a<0,则当xe(-oo,g)U(0,+8)时，/'(x)>0；

当xeg,0)时，./''(x)<0.故/(x)在),(0,+00)单调

递增，在(三，0)单调递减.

(2)满足题设条件的存在.

⑴当aWO时，由⑴知，/(x)在［0,1］单调递增，所以/(x)在区间［0,1］的最小值为"0)=6,最大值

为/(l)=2-a+b.此时满足题设条件当且仅当6=-1,2-。+6=1,即a=O,b=-l.

(ii)当。＞3时，由⑴知,/(x)在［0,1］单调递减，所以/(x)在区间［0,1］的最大值为。(0)=6,最小

值为/(l)=2—a+b.此时满足题设条件当且仅当2-a+b=—l,b=l,即a=4,b=l.

若-----Fb=•—1,b=1,则a=，与0<a<3矛盾.

27

若-幺-+6=-1,2-a+b=1,则a=或-3JJ或a=0,与0<a<3矛盾.

27

综上，当且仅当。=0,6=-1或a=4,b=\,/(x)在［0,1］的最小值为一1，最大值为I.

【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性,

最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，计算量略大.

Y1

8.(2019・全国n•理•第20题)已知函数/(x)=Inx---.

x-1

(1)讨论/(X)的单调性，并证明/(X)有且仅有两个零点：

(2)设%是/(x)的一个零点，证明曲线丁=lnx在点4(x0,lnxo)处的切线也是曲线丁=，的切线.

【答案】(1)函数/(x)在(0,1)和(1,+8)上是单调增函数，证明见解析；(2)证明见解析.

【官方解析】

(1)/⑶的定义域为(0,l)U(l,+8).

12

因为/'(X)=—+---T〉0,所以/(X)在(0,1)和(1,+8)上是单调递增.

x(x-1)

因为/(e)=l-^-<0,/@)=2-亨=1>0,

e-1e--le-1

所以f(x)在(1,+8)有唯一零点再，即f(x,)=o.

又0(一<1,f-u-lnXi+Rn-yaXO,故/(x)在(0,1)有唯一零点一.

x\\x\7玉一1%

综上，/(X)有且仅有两个零点.

1(1

(2)因为一=/喙，故点8-In/,一在曲线丁=,匕

X。\X0?

由题设知/(%)=0,即lnx°=5q,

%-1

--lnx0-

故直线AB的斜率k=曰-------=』.

-In%—/x0+lXo

XoT

曲线y="在点8-lnx0,—处切线的斜率是一，曲线歹=lnx在点/(xo，lnx°)处切线的斜率也是

Ix(JX。

―,所以曲线歹=lnx在点Z(xo，lnx°)处的切线也是曲线y=e、的切线.

xo

【分析】(1)对函数/(x)求导，结合定义域，判断函数的单调性；

(2)先求出曲线y=Inx在4(%,In/)处的切线I,然后求出当曲线y=e*切线的斜率与I斜率相等时,

证明曲线y=厘切线V在纵轴上的截距与I在纵轴的截距相等即可.

Y_i_1丫21

【解析】(1)函数/(X)的定义域为(O,l)U(l,+8),/(x)=lnx—=>f(x)=------7,因为函

x-1x(x-l)

数"X)的定义域为(0,l)U(l,+8),所以/'(x)>0,因此函数/(X)在(0,1)和(1,+»)上是单调增函数；

11~+12

当xw(0,l),时，x-0)f—8,而/(-)=In---f—==^>0,显然当xw(0,1),函数/(x)有

eee-1

e

零点，而函数f(x)在xe(0,l)上单调递增，故当xe(0,l)时，函数〃幻有唯一的零点；

p_i_i_7_]2_a

当Xe(l,+oo)时，/(e)=]ne-〜=」<0,/(e2)=lne2->0,

e-1e-1e-1e-1

因为/(e”f(e2)<0,所以函数/(x)在(e,e?)必有一零点，而函数/(》)在(1,+8)上是单调递增，故

当xw(l,+8)时，函数“X)有唯一的零点

综上所述，函数/(X)的定义域(0,1)U(1,+8)内有2个零点；

(2)因为%是/(x)的一个零点，所以f(x())=In/一手号=0nIn/=学号

y=\nx^y'=~,所以曲线>=lnx在/(/「nx。)处的切线/的斜率无=」-,故曲线y=lnx在

xX。

4(Xo，lnx(,)处的切线/的方程为：y—lnx°=-!-(x—/)而出与二2二，所以/的方程为

%%-1

x22

y=—+-7,它在纵轴的截距为:7设曲线y=e、的切点为8(西,洲)，过切点为3(X|,e』)切线

I',y=ex^yf=e\所以在3（否,1）处的切线/'的斜率为e不，因此切线/'的方程为

y=ex,x+eY,（1-xJ,

当切线/'的斜率占=2等于直线/的斜率左=一时，即=」-n%=—（lnx°）,

x0/

]X+1

切线〃在纵轴的截距为仇="'（1一芯）=0-3（1+山/）=—（l+lnxo）,而所以

[=_L（i+2土3=一；■，直线//的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线/,/'重合，故曲

线V=Inx在Z（与,In/）处的切线也是曲线歹=ex的切线.

【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.

题型二：导数与函数的单调性

1.(2022高考北京卷•第20题)已知函数/(x)=e'ln(l+x).

⑴求曲线y=/*)在点(0,/,(0))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明:对任意的s"6(0,+8),有/(s+f)>〃s)+加).

【答案】解析:⑴因为/(x)=e'ln(l+x),所以/(0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又八x)=e*(ln(l+x)+J-),

切线斜率左=/'(0)=1

切线方程为：

121

⑵因为g(x)=/'(x)=ev(ln(l+x)+--),所以g'(x)=e，(ln(l+x)+——-~"),

1+xl+x(l+x)

令人(x)=ln(l+x)+--1,则/(X)=----------+―2—r-=+1.>0,

l+x(l+x)2l+x(l+x)2(l+x)3(l+x)3

〃(x)在［0,+8)上单调递增，Mx)>/z(0)=l>0.\g'(x)>0在［0,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)原不等式等价于/(S+£)-/($)〉/(。一/(0),

令风x)=/(x+f)-/(x),(x,r>0),

即证加(x)>加(0),

m(x)=f(x+t)-f(x)=er+/ln(l+x+?)-eAln(l+x),

x+,x

m\x)=ev+,ln(l+x+r)+--e------e'ln(l+x)--e---=g(x+/)-g(x),

1+x+Z1+x

由⑵知g(x)=/'(x)=ev(ln(l+x)+')在［0,+8)上单调递增，

1+x

g(x+t)>g(x)，

/.m(x)>0

...W(x)在(0,+8)上单调递增，又因为X"〉0,

m(x)>m(0),所以命题得证.

2.(本小题满分12分)已知函数/(x)=4x3-3fcose+玄，其中xeR,。为参数，且OWOW^.

(I)当cos6=0时，判断函数/(x)是否有极值；

(H)要使函数/(x)的极小值大于零，求参数。的取值范围；

(HI)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数6,函数/(X)在区间(2a-1,°)内都是增函数，求实数a的取

值范围.

【答案】分析：考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题

的能力。

(I)当cos。=0时/(x)=4/+J则/(X)在(—8,+8)内是增函数，故无极值。

(II)/'(x)=12x2-6xcosa令/'(x)=0,得X］=0,丫2=c。："..

7T

由及⑴，只需考虑cos。〉。的情况。

2

当x变化时，f\x)的符号及/(x)的变化情况如下表：

/nx/八COS。、COS0/COS。、

X(-8,0)0(0,^—)----(----,+8)

22

/V)+oo+

f(x)o极大值口极小值口因此，函数

/'(')在x=笺凹处取得极小值/(笺且),且/(上笑)=一；cos3e+J

要使/'("g)〉0,必有—Leos'。+」->0,可得0<cos。<^，所以工<。〈工

24132232

CCS0

(HI)由(II)知，函数/(x)在区间(-oo,0)4(^—,+oo)内都是增函数。

由题设，函数/(x)在(2〃-1,编内是增函数，则Q须满足不等式组

r.1[2a-\<a

2Q—1<Q

〈或《1

<02。-1之一cos。

I2

rrTT|

由(H),参数夕el',])时，0<cos6<].要使不等式

2"lN』cose关于参数夕恒成立，必有2"121

24

综上，解得或工《。<1.所以a的取值范围是(―oo,0]U[*,l).

88

3.(2014高考数学重庆理科•第20题)已知函数“x)=四2'-命3—以@仇ceA)的导函数/'(%)为偶

函数，且曲线y=在点处的切线的斜率为4—c.

(1)确定。力的值；

(2)若c=3,判断了Q0的单调性；

(3)若//X)有极值，求c的取值范围.

【答案】(l)a=l,6=1；(2)/(x)在R上为增函数；(3)详见解析

解析：⑴对〃x)求导/'(X)=2ae2x+2be^x—c,由/(x)为偶函数，知/'(x)=/'(—x)，

即2(a—3e2，+"2，)=0,因e2x+e-2，>o,所以。=人。

又/'(0)=2a+2h—c—4—c,故a=l,/>=l。

(2)当c=3时，/(x)=e2x-e~2x-3x,

那么/'(x)=2e2jc+2e3-3>2h心・2e3—3=1>0,故f(x)在R上为增函数。

(3)由⑴知/'(x)=Ze?、+2"2*-c,

而2e2x+2e-2x>2yj2e2x•2e~2x=4,当x=0时等号成立。

下面分三类情况进行讨论:

当c<4时，对任意xeR,/'(x)=2e2、+2e-2*-c>0,此时/(x)无极值：

当c=4时，时任意x，0,/'(x)=2e2、+2e-2*-c>0,此时/(x)无极值：

当c>4时，令*=t,注意到方程2，+2—c=0有两根，12="也三9〉0，

t4

即/'(x)=0有两根XI=；ln.或f=|lnr2.

当匹<》<》2时，/'(X)<O：又当X〉》2时，/'(X)〉O，从而/'(X)在X=%2处取得极小值;

综上，若/'(X)有极值，则c取值范围为(4,+8)。

4.(2014高考数学天津理科•第20题)设/(x)=x-ae，(aeR),xeR.已知函数y=/(x)有两个零点事,x?,且

X,<x2.

⑴求a的取值范围；

(II)证明也随着a的减小而增大；

(III)证明玉+x2随着a的减小而增大.

【答案】⑴(o,e-,)；(n)详见解析;(in)详见解析.

解析:⑴由/(x)=x-ae，/0Har(x)=l-ae，.下面分两种情况讨论：

(1)当“40时，由/'(外>0在R上恒成立，可得/(x)在R上单调递增，不合题意.

⑵当a>0时，由f'(x)=0,得x=-Ina.当x变化时J'(x),f(x)的变化情况如下表：

X(一oo,-InQ)-Ina(-Intz,4-oo)

f'W十0-

f(x)/-lna-1

这时,/(x)的单调递增区间是(-8,-Ina);单调递减区间是(-Ina,+8).

于是，“函数y=/(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：

①/(-lna)>0；

②存在4G(-00,-Ina)，满足/(s,)<0;

③存在4e(-Ina,+oo)，满足f(s2)<0.

由/(-Ina)>0,即-lna-1>0,解得0<a<eT,而此时，取S1=0,满足$e(-oo,-lna)，且/(sj=-a<0;取

227-2-

s=—+ln-,满足s’e(-lna,+oo),H/(s)=(——e°)+(ln一一ea)<0.

2aa2aa

所以的取值范围是(0,/).

(II)山/(X)=X-Q/=0,有a=三.设g(x)=d,lllgf(x)=知：

eee

g(x)在(-8,1)上单调递增，在(L+oo)上单调递减.

并且当XG(-00,0]时,g(x)40；当X£(0,+8)时,g(x)>0.

由已知,西户2满足〃=8(%)，〃=8(X2)・

由aW(0,/)及g(x)的单调性刈得/e(O,l)“2-

对于任意的％,出£(0,/),设6>。2,8(。)=8偌2)=6淇中。<。<1<$；8(7)=8(小)=。2，其中0<7<1<〃2・

因为g(x)在(0,1)上单调递增，故由％〉的，即g(。)>g(7)，可得4>7；

类似可得务〈小.

又由4,7>0,得，v"v%.

5471

所以随着〃的减小而增大.

再

xX2

(HI)由项=ae',x2=ae,可得\nxl=Ina+Xj,lnx2=lna+x2・

故々一内=Inx2-Inx,=In士.

xi

设土力，则”1,且p=%，解得吃=曳，/=3.

xl[x2-x1=Int,t-\t-l

所以,%+%=彳詈.①

…1

zn]—2Inx+x—

令〃(x)="+l)lnx,xe(1,+00)，则”(力=-------.

X-1(x-1)

令w(x)=_21nx+x-L得u\x)-(――-)2.

XX

当XG(l,+oo)时,Wr(x)>0.因此，〃⑺在(1,4-00)上单调递增，

故对于任意的工£(1,+00),〃(工)>.1)=0,由此可得/卜)>0,故人(力在(1,+00)上单调递增.

因此，由①可得玉+々随着/的增大而增大.而由(II)/随着a的减小而增大，所以玉十/随着a的减小而增大.

5.(2014高考数学江西理科•第19题)已知函数fU)=&：+bx+bRF2x(bwA.

(1)当b=4时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)在区间(0,5上单调递增，求b的取值范围.

【答案】⑴/(x)在x=—2取极小值0,在x=0.取极大值4.⑵(―8,}.

分析：(1)求函数极值,首先明确其定义域:Xe(-8」),然后求导数:当b=4时,r(x)=邛把父，再在定义

2VI-2x

域下求导函数的零点：x=-2或x=0.根据导数符号变化规律,确定极值:当xe(-oo,-2)时J'(x)<0,/(x)

单调递减，当xe(-2,0)时,/'(x)>0,f(x)单调递增，当xe(0,；)时J'(x)<0,/(x)单调递减，故/(x)在

x=-2取极小值0,在x=0.取极大值4.(2)已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负,

再利用变量分离求最值.由题意得/(X)=一要+36—2)20对0w(0」)恒成立，即5x+36—2«0对

Vl-2x3

G

Xe(0,；)恒成立，即b<(^)max,X(0,1)

解析:⑴当b=4时,/'(x)=-5户+2),由/，⑴=o得x=-2或x=0.

y/\-2x

当xe(-00,-2)时,/'(x)<0,/(x)单调递减，当xe(-2,0)时,/'(x)>0,/(x)单调递增，当xw(0,1)时,

f'(x)<0,/(x)单调递减，故/(%)在x=-2取极小值0,在x=0.取极大值4.

(2)/，(x)=+因为,,工£(01)时<o

Jl-2x3yjl—2x

依题意当xe(0,；)时，有5x+3b—2<0,从而g+3b—2W0

所以b的取值范围为(-8,

6.(2015高考数学重庆理科•第20题)(本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)

设函数/(耳=3/+如(4的

ex

⑴若/(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)若/(x)在[3,+00)上为减函数，求a的取值范围.

【答案】(l)a=0,切线方程为3x-纱=0；(2)[—：,+8).

解析：

解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得/，(》)=3f+(6a)x+a,由

ex

3T2_劣丫2+6oq

己知得/'(0)=0,可得。=0,于是有/。尸一，/1工)=——--,/*(!)=-，由点斜式

eeee

可得切线方程；(2)由题意/'(x)40在［3,+8)上恒成立，即g(x)=—3x?+(6—a)x+aWO在［3,+8)上恒

6-a-

----<39

成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由16-得。之一二.

［g⑶402

工(6x+«)ev-(3x2+ax)e'-3x2+(6-a\x+a

解析：⑴对f(x)求导得/'(x)=-----------------=---------2——

(力,

因为/(x)在x=0处取得极值，所以/'(0)=0,即。=0.

-2_3丫2_|_£o4

当。=0时，/-(X)=—,/•'(')=七°”,故/(1)=人,((1)=」,从而/(X)在点(1,/XI))处的切线方程

eeee

33

为±=±(x-1),化简得3x-”=0

ee

.-3厂+(6—a)x+a

⑵由⑴得，/'(x)=------匚」——，

e

令g