2022年北京顺义初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京顺义初二（上）期末数学一、选择题（共10道小题，每小题2分，共20分）1.9的平方根是（）A3 B. C. D.2.若分式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只1条的是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C等腰直角三角形 D.等边三角形4.在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（）A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm5.任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（）A. B. C. D.6.下列以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a＝1，b＝1，c＝ B.a＝2，b＝3，c＝C.a＝3，b＝5，c＝7 D.a＝6，b＝8，c＝107.如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（）A. B. C. D.8.当时，化简二次根式，结果正确的是（）A. B. C. D.9.乒乓球比赛以11分为1局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了8分，乙只得了2分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法正确的是（）A.甲获胜的可能性比乙大 B.乙获胜的可能性比甲大C.甲、乙获胜的可能性一样大 D.无法判断10.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）

A.1 B.3 C.5 D.7二、填空题（共10道小题，每小题2分，共20分）11.如果分式的值为0，则x的值是__________．12.最接近的整数是______．13.计算：__________．14.如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件：___________，使得△PAD≌△PBC．15.一个盒子里装有除颜色外都相同的1个红球，4个黄球．把下列事件的序号填入下表的对应栏目中．①从盒子中随机摸出1个球，摸出的是黄球；②从盒子中随机摸出1个球，摸出是白球；③从盒子中随机摸出2个球，至少有1个是黄球．事件必然事件不可能事件随机事件序号_______________16.等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是________．17.已知：公式其中，，，均不为零．则___________．（用含有，，的式子表示）18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为___________．19.某班共有36名同学，其中男生16人，喜欢数学同学有12人，喜欢体育的同学有24人．从该班同学的学号中随意抽取1名同学，设这名同学是女生的可能性为a，这名同学喜欢数学的可能性为b，这名同学喜欢体育的可能性为c，则a，b，c的大小关系是___________．20.对于任意的正数，，定义运算“*”如下：，计算的结果为___________．三、解答题（共60分，第21题4分，第22－－31题，每题5分，第32题6分）21.计算：．22.计算：．23.已知：如图，E，F是线段BC上两点，ABCD，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．24.计算：．25.解方程：．26.计算：．27.先化简，再求值：，其中．28.已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．29.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝∠AOB．30.列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划提前1个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%．问原计划完成这项工程需要用多少个月？31.已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．32.我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题（共10道小题，每小题2分，共20分）1.9的平方根是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平方根的定义，可得9的平方根．【详解】∵，∴9的平方根为±3，故选：C．【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．2.若分式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分式有意义，则，求出x的取值范围即可.【详解】∵分式有意义，∴，解得：，故选B.【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键.3.下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只1条的是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的特点求解；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：、等腰三角形是轴对称图形，不考虑三条边相等的情况下，对称轴有1条，不符合题意；、直角三角形不一定是轴对称图形，不一定有对称轴，不符合题意；、等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴有1条，不符合题意；、等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念．解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（）A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】【分析】设第三根木棒的长度为cm，再确定三角形第三边的范围，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：设第三根木棒的长度为cm，则所以A，B，D不符合题意，C符合题意，故选C【点睛】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“利用三角形的三边关系确定第三边的范围”是解本题的关键.5.任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如果一个事件的发生有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率利用概率公式直接计算即可得到答案．【详解】解：抛掷一枚分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，骰子落地时朝上的数为偶数的可能性有种，而所有的等可能的结果数有种，所以骰子落地时朝上的数为偶数的概率是故选A【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，掌握概率公式是解本题的关键.6.下列以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a＝1，b＝1，c＝ B.a＝2，b＝3，c＝C.a＝3，b＝5，c＝7 D.a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；、，该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7.如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如果一个事件的发生有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率利用概率公式直接计算即可得到答案．【详解】解：因为指针可以指向6个区域的任何一个，所以有6个等可能的结果，而指向黄色区域的结果数有2种，所以当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是：故选B【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握利用概率公式进行计算是解题的关键．8.当时，化简二次根式，结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断再利用进行化简即可.【详解】解：故选D【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况.9.乒乓球比赛以11分为1局，水平相当甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了8分，乙只得了2分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法正确的是（）A.甲获胜的可能性比乙大 B.乙获胜的可能性比甲大C.甲、乙获胜的可能性一样大 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性即可判断．【详解】∵甲已经得了8分，乙只得了2分，甲、乙两人水平相当∴甲获胜的可能性比乙大故选A．【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是根据题意进行判断．10.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）

A.1 B.3 C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】AC的垂直平分线交l于P点即为所求．【详解】如图，AC的垂直平分线交l于P点，则AP=CP=BP此时△PAC，△PAB均为等腰三角形，共一点，故选A．【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的定义与垂直平分线的性质．二、填空题（共10道小题，每小题2分，共20分）11.如果分式的值为0，则x的值是__________．【答案】##【解析】【分析】分式的值为零时，分子等于零，即．【详解】解：由题意知，．解得．此时分母，符合题意．故答案是：．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．12.最接近的整数是______．【答案】4【解析】【分析】根据无理数的估算得出所求即可．【详解】解：∵，∴，则最接近的整数是4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．13.计算：__________．【答案】2【解析】【分析】直接利用立方根、绝对值化简得出答案．【详解】解：原式．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是正确化简．14.如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件：___________，使得△PAD≌△PBC．【答案】∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC或AC=BD．【解析】【分析】已有∠P是公共角和边PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根据ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加PD=PC或PC=PD．填入一个即可．【详解】解：∵PA=PB，∠P是公共角，

∴根据AAS可以添加∠D=∠C，，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C，∴△PAD≌△PBC（AAS）．根据ASA可以添加∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据ASA可以添加∠DBC=∠CAD，∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据SAS可添加PD=PC在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．根据SAS可添加BD=AC，∵PA=PB，BD=AC，∴PA+AC=PB+BD即PC=PD，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．故答案为：∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC或AC=BD．【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．15.一个盒子里装有除颜色外都相同的1个红球，4个黄球．把下列事件的序号填入下表的对应栏目中．①从盒子中随机摸出1个球，摸出的是黄球；②从盒子中随机摸出1个球，摸出的是白球；③从盒子中随机摸出2个球，至少有1个是黄球．事件必然事件不可能事件随机事件序号_______________【答案】①.③②.②③.①【解析】【分析】直接利用必然事件：一定发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：可能发生可能不发生的事件，来依次判断即可．【详解】解：根据盒子里装有除颜色外都相同的1个红球，4个黄球，①从盒子中随机摸出1个球，摸出的是黄球，属于随机事件；②从盒子中随机摸出1个球，摸出的是白球，属于不可能事件；③从盒子中随机摸出2个球，至少有1个是黄球，属于必然事件；故答案是：③，②，①．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，解题的关键是掌握相应的概念进行判断．16.等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是________．【答案】或##或【解析】【分析】因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：①当为底时，其它两边都为，、、可以构成三角形，周长为；②当为底时，其它两边都为，、、可以构成三角形，周长为；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，解题的关键是利用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．17.已知：公式其中，，，均不为零．则___________．（用含有，，的式子表示）【答案】【解析】【分析】在公式的两边都乘以即可得到答案.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是公式的变形，利用解分式方程的思想进行变形是解本题的关键.18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为___________．【答案】20°##20度【解析】【分析】先根据三角形内角和求出∠A，利用翻折不变性得出，再根据三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：，∠B＝35°，，是由翻折得到，，，．故答案为：20°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.某班共有36名同学，其中男生16人，喜欢数学的同学有12人，喜欢体育的同学有24人．从该班同学的学号中随意抽取1名同学，设这名同学是女生的可能性为a，这名同学喜欢数学的可能性为b，这名同学喜欢体育的可能性为c，则a，b，c的大小关系是___________．【答案】c＞a＞b【解析】【分析】根据概率公式分别求出各事件的概率，故可求解．【详解】依题意可得从该班同学的学号中随意抽取1名同学，设这名同学是女生的可能性为，这名同学喜欢数学的可能性为，这名同学喜欢体育的可能性为，∵＞＞∴a，b，c的大小关系是c＞a＞b故答案为：c＞a＞b．【点睛】本题考查概率公式的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．20.对于任意的正数，，定义运算“*”如下：，计算的结果为___________．【答案】##【解析】【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第一种对应法则；48＜50，选第二种对应法则．详解】解：∵∴===故答案为：．【点睛】主要考查二次根式的运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键．三、解答题（共60分，第21题4分，第22－－31题，每题5分，第32题6分）21.计算：．【答案】【解析】【分析】按照从左至右的运算顺序先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法运算即可.详解】解：【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘法与除法的运算法则及混合运算的运算顺序”是解本题的关键.22.计算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质先化简，再合并同类项即可．【详解】解：，，．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的加减法，解题的关键是掌握运算法则．23.已知：如图，E，F是线段BC上两点，ABCD，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】欲证明AF＝DE，只要证明△ABF≌△DCE即可；【详解】证明：∵BE＝CF，∴BF＝CE，∵ABCD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE，，∴△ABF≌△DCE，∴AF＝DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．24.计算：．【答案】．【解析】【分析】先把除化乘，再因式分解同时约分，通分合并化简为最简分式即可．【详解】解：，=，=，=，=，=．【点睛】本题考查分数加减乘除混合运算，掌握分式混合运算法则是解题关键．25.解方程：．【答案】【解析】【分析】先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.【详解】解：去分母得：去括号得：整理得：解得：经检验：是原方程的解，所以原方程的解是.【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握“解分式方程的步骤”是解本题的关键.26.计算：．【答案】【解析】【分析】先按照完全平方公式，乘法的分配律进行二次根式的乘方与乘法运算，再合并即可.【详解】解：原式【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除，乘方的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.27.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先通分，化为同分母的分式，再进行加减运算，再把条件式化为整体代入求值即可.【详解】解：所以：原式【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的通分，整体代入求值都是解本题的关键.28.已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．【答案】见解析【解析】【分析】先证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可证明．【详解】解：，为等腰直角三角形，，又，为等腰直角三角形，，，，，，，平分．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性质、角平分线，解题的关键是掌握三角形的全等的证明．29.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝∠AOB．【答案】见解析【解析】【分析】由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．【详解】解：，为等腰三角形，，由外角的性质得：，，再由外角的性质得：，，．【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．30.列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划提前1个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%．问原计划完成这项工程需要用多少个月？【答案】【解析】【分析】设原计划完成这项工程需要用个月，则原计划的效率为实际的效率为再根据实际的效率比原计划的效率提高10%，再列方程，解方程即可.【详解】解：设原计划完成这项工程需要用个月，则整理得：解得：经检验：符合题意；答：原计划完成这项工程需要用个月.【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握“利用分式方程解决工程问题”是解本题的关键.31.已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．【答案】（1）①见详解；②结论为DE=BD+CE，证明见详解；（2）DE=BD+CE．证明见详解．【解析】【分析】（1）①依题意在图1作出CE、BD，标出直角符号，垂足即可；②结论为DE=BD+CE，先证∠ECA=∠BAD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD，即可；（2）DE=BD+CE．根据∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，得出∠CAE=∠ABD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD即可．【小问1详解】解：①依题意补全图1如图；②结论为DE=BD+CE，证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA=∠BDA=90°，∴∠ECA+∠CAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°∴∠ECA=∠BAD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，CE=AD，∴ED=EA+AD=BD+CE；【小问2详解】DE=BD+CE．证明：∵∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，C