广西壮族自治区河池市宜州山谷高级中学高三数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区河池市宜州山谷高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为A．4

B．3

C．4

D．3参考答案：C2.已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b参考答案：A【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】根据指数函数的单调性可判断a，b与1的大小，利用对数函数的单调性可判断c，d与0及1的大小，然后判定选项．【解答】解：∵d=log0.31.8＜log0.31=0，c=log25＞log24=2，0＜b=0.90.1＜0.90=1，1.71＞a=1.70.3＞1.70=1∴d＜0＜b＜1＜a＜2＜c故选：A3.执行如图所示的程序框图，则输出的（

）A．17

B．33

C．65

D．129参考答案：C4.样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数是（

）A、+

B、(+)

C、2(+)

D、(+)参考答案：B略5.已知tan（α+）=2，则cos（2α+）=（）A． B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值可求tanα的值，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．【解答】解：∵tan（α+）==2，∴tanα=，∴cos（2α+）=sin2α====．故选：C．6.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A∩B等于（）A．[﹣2，2] B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，故选：C．7.参考答案：B8.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得

成立（其中为常数），则称函数在上的均值为，现在给出下列4个函数：①

②

③

④，则在其定义域上的均值为2的所有函数是下面的

（

）A.①②

B.

③④

C.①③④

D.①③参考答案：D略9.已知，，O为坐标原点，点C在内，且，设，则实数等于(A)

(B)

(C)

(D)3参考答案：C10.若函数且|-|的最小值为的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数，且，则的最小值为

．参考答案：略12.

。参考答案：答案：213.为了得到函数的图象，只需把函数的图象．参考答案：向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简三角函数式，然后利用三角函数的图象变换确定平移长度．【解答】解：函数=sin（2x+）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），所以要得到函数的图象，只需把函数向右平移个单位长度；故答案为：向右平移个单位长度．14.函数对于任意实数满足条件，若，则

。参考答案：略15.我们可以利用数列的递推公式（）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_______项.参考答案：略16.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为_____________参考答案：17.已知函数f（x）=，则=．参考答案：π+6【考点】定积分．【专题】计算题；对应思想；导数的概念及应用．【分析】将被积函数利用可加性分段表示，再分别求出各段上的定积分．【解答】解：f（x）=，则==+（+2x）|=π+6；故答案为：π+6．【点评】本题考查了分段函数的定积分；利用定积分的可加性和定积分的运算公式解答；属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcosA=ccosA+acosC．（1）求tanA的值；（2）若a=4，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由3bcosA=ccosA+acosC，可得3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，化为：3cosA=1．可得sinA=，可得tanA=．（2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式的性质可得bc≤24．利用S△ABC=即可得出．【解答】解：（1）∵3bcosA=ccosA+acosC，∴3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．sinB≠0，化为：cosA=，∴sinA==，可得tanA==．（2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc=bc，可得bc≤24，当且仅当b=c=2取等号．∴S△ABC=≤=8．∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为8．19.（本题满分10分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.

分组频数频率100.2524

20.05合计1

参考答案：解（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以.

………………1分因为频数之和为，所以，.

………………2分.

………………3分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.……………4分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.

………7分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有，15种情况，而两人都在内只能是一种，

………………9分所以所求概率为.（约为）

略20.（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若，求函数在上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为R，，当a=0时，，在R上为增函数；当a>0时，在上为增函数，在上为减函数；当a<0时，在上为减函数，在上为增函数．………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）当a=0时，在上为增函数，，；（ⅱ）当，即时，在上为增函数，，；……（7分）（ⅲ）当，即时，因为在上为增函数，在上为减函数，当时有：，x=0或1时取得最小值．，，由得，由得，①当时，；②当时，．…………（10分）综上所述：当时，，；当时，，；当时，，．…（12分）21.（12分）（2016?兴安盟一模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，a﹣alna﹣1≥0对a＞0恒成立，即可求实数a的值；（Ⅲ）方法一：要证原不等式成立，只需证：，即证：；方法二：n≥2时，==，即可证明结论成立．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣a（1分）∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．

（2分）a＞0时，x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0（5分）即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0）∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减∴g（a）≤g（1）=0故g（a）=0，得a=1（18分）（Ⅲ）证明：方法一：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），则x＞0时，ln（1+x）＜x要证原不等式成立，只需证：，即证：下证①（9分）?4（32k﹣2?3k+1）≥3?32k﹣4?3k+1?32k﹣4?3k+3≥0?（3k﹣1）（3k﹣3）≥0①中令k=1，2，…，n，各