人教大纲版高考数学题库考点16圆及直线与圆的位置关系

1、 考点 16 圆及直线与圆的位置关系考点 16 圆及直线与圆的位置关系 1.（2010湖北高考理科9）若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围 是（ ） (A)1 2 2,12 2 (B)12,3 (C)-1,12 2 (D)1 2 2,3 【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能 力 【思路点拨】将方程 2 34yxx作等价 变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观 点得到直线yxb在与曲线 2 34yxx 有公共点时 b 的取值范围. 【规范解答】选 D. 2 34yxx由图可知当直线yxb过点（0，3） 时 b 取

2、最大值 3；当直线yxb与圆 22 (2)(3)4xy相切且切点在圆的下半部分时对应的 b 取最 小值.由 22 (2)(3)4 yxb xy 消去 y 可得 2 22 (210)(3)0 xbxb，由=0 得1 2 2b 或 12 2b （舍去）. 2.（2010江西高考理科）直线3ykx与圆 22 (3)(2)4xy相交于 M，N 两点，若 2 3MN ，则k的取值范围是( ) (A) 3 ,0 4 （B） 3 ,0, 4 (C) 33 , 33 （D） 2 ,0 3 o y 24 3 1 【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力. 【思路点拨】可以数形结合

3、，利用圆心到直线的距离进行判定， 也可以联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解. 【规范解答】 选 A方法一：由题意，若使2 3MN ，则圆心到直线的距离1d，即1 1 323 2 k k ， 解得0 4 3 k.故选 A. 方法二：设点 M,N 的坐标分别为),(), 2211 yxyx（，将直线方程和圆的方程联立得方程组 消去 y 得06)3(2) 1( 22 xkxk， 由根与系数的关系得 1 6 , 1 )3(2 2 21 2 21 k xx k k xx， 由弦长公式知 21 2 21 2 21 2 4)(1|1|xxxxkxxkMN= 1 122420 1 6 4 1 )3(2

4、 1 2 2 2 2 2 2 k kk kk k k， 32|MN,32 1 122420 2 2 k kk ，即034(8 ）kk， 0 4 3 k，故选 A. 3.（2010全国卷理科11）已知圆 O 的半径为 1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为两切点， 那么PA PB 的最小值为（ ） (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【命题立意】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法, 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【思路点拨】画出相关的图形，思路 1：利用判别式 法；思路 2：利用均值不等式法. 【规范

5、解答】选 D. 方法一：如图所示：设 PAPBx(0)x ,APO,则APB2， P A B O PO 2 1x， 2 1 sin 1x ，| |cos2PA PBPAPB 22 (1 2sin)x 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x ，令PA PBy ，则 42 2 1 xx y x ， 即 42 (1)0 xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy ， 2 610yy ，解得32 2y 或32 2y . 故 min ()32 2PA PB .此时21x . 方法二：设,0APB， 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB 2 cos1/t

6、ancos 2 PA PBPAPB PA PB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元： 2 sin,01 2 xx ， 11 21 232 23 xx PA PBx xx 方法三：以 O 为原点，以 OP 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 圆的方程为 22 1xy，设 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x， 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 【方法技巧】

7、解析几何中的最值问题的解题策略 解析几何中的最值问题，是高中数学的重点，同时也是高考命题的热点.这些问题形式多变，要求较 高，但其解法仍然有章可循，有法可依.常遇到面积最大、最小问题，距离的最长、最短问题，不定量的 最大、最小问题等等.实质上与其它内容的最值一样，应会从函数、方程、三角、导数等多个角度思考问 题. （1）斜率代换法. （2）曲线相切法：解决曲线上的点与直线距离的最值问题时，采用平行移动直线，将其转化为两曲线相 切问题解答. 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy （3）极限法：极限法是一种直观、简捷的科学方法，是指一类运动或变化的元素逐渐趋近于某

8、一确定元 素的趋势，反映了该元素运动变化的本质特征，这时我们可以考察这个元素趋近于某个定值时相关元素的 极限，极限法往往能化难为易，达到“事半功倍”的效果. （4）曲线方程参数法:解题时恰当地引入参数，可以简化繁琐的计算过程，并提供进一步利用函数性质的 可能性. (5)均值不等式法: 利用均值不等式性质定理来解圆锥曲线最值问题时，要先将目标函数配凑成积（或和） 为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提. （6）函数的单调法：本题的解题过程中运用函数 x t xxf)()0, 0(tx的重要性质：)(xf在区间 t, 0上单调递减， 在区间, t上单调递增.此函数性质在实际中有着广泛的

9、应用， 已成为高考命题的 热点. （7）导数法：导数是中学知识的交汇点，它是一个很好的工具.高考主要考查导数在解析几何中的应用， 利用导数研究分式函数、无理函数等函数的图像和性质，导数为这类试题的解决提供了新视角、新途径. 4.（2010重庆高考理科8）直线 3 2 3 yx与圆心为 D 的圆 33cos , 13sin x y 0,2 交于 A，B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（ ） （A） 7 6 （B） 5 4 （C） 4 3 （D） 5 3 【命题立意】本小题考查圆的参数方程以及参数的几何意义，关键是利用好三角恒等变换公式及数形结 合的思想方法. 【思路点拨】把圆的参数

10、方程代入直线方程得点 A，B 的的值，参数的值就是直线 AD 与 BD 的倾斜角. 【规范解答】选 C.把 33cos 13sin x y 代入已知直线方程得： 3 13sin( 33cos )2 3 ， 整理得：3sincos2，所以 312 sincos 222 ， 即 2 sin() 62 ，又因为0,2 )， 所以 64 或 3 64 ，所以 5 12 或 11 12 ，如图所示，这两个角就是直线 AD 与 BD 的倾斜 角，所以 5114 12123 ，选 C. 【方法技巧】如果把圆的方程化为标准方程，再与已知直线方程联立方程组求点 A，B 的坐标，则运算量 大，不易求解，本题巧妙的

11、将圆的参数方程代入直线方程进而简捷求解. 5.（2010重庆高考文科8）若直线yxb与曲线 2cos sin x y ， （0,2）有两个不同的公 共点，则实数b的取值范围为（ ） (A)(22,1) (B)22,22 (C)(,22)(22,) (D)(22,22) 【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化 的思想. 【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判 别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线yxb观察计算. 【规范解答】选 D .方法一：消去参数得 22 (2)1xy，与yx

12、b联立方程组，消去y得： 22 2(42 )30 xb xb， 因为直线与曲线有两个不同的公共点， 所以 22 (42 )8(3)0bb ， 即 2 420bb，解得2222b； 方法二：把圆的参数方程代入直线方程得：sin2cosb，即sincos2b-sincos2b，所以 2 sin() 42 b - 2 sin() 42 b ，所以 2 11 2 b ， 解得2222b； 方法三：如图所示，直线与圆相切之间的情形 符合题意，计算圆心（2，0）到直线yxb的 距离等于圆半径 1，即 2 1 2 b ，解得22b ， 所以2222b. 【方法技巧】 （1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化

13、为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值 域求解；（3）数形结合法. x y O 6.（2010上海高考理科5）圆 22 :2440C xyxy的圆心到直线l：3440 xy的距离 d 【命题立意】考查圆的方程和点到直线的距离公式 【思路点拨】先求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求值 【规范解答】由圆的方程可知圆心坐标为 C（1，2） ，由点到直线的距离公式，可得 3 3 4 43 3 4 42 24 41 13 3 2 22 2 d d 答案:3 7.（2010四川高考理科4）直线250 xy与圆 22 8xy相交于A，B两点， 则AB . 【命题立意】本题主要考查点到直线的距离公式、圆的弦长公式及其直线与圆的位置关系. 【思路点拨】直线和曲线的相交弦问题，需联立方程组，利用弦长公式求解，特别地，直线和圆相交求弦 长，可用圆心到直线的距离、半径求解. 【规范解