新课标版高考数学复习题库考点26随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系、统计案例

1、 考点 26 随机抽样、用样本估计总体、考点 26 随机抽样、用样本估计总体、 变量间的相关关系、统计案例 变量间的相关关系、统计案例 1 （2010陕西高考文科4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的 样本平均数分别为 AB xx和,样本标准差分别为sA和sB,则（ ） (A) A x B x，sAsB (B) A x B x，sAsB (C) A x B x，sAsB ( D) A x B x，sAsB 【命题立意】本题考查样本平均数、标准差的概念的灵活应用，属保分题. 【思路点拨】直接观察图像易得结论，不用具体的运算. 【规范解答】选 B 由图易得 A x B x，又 A 波动

2、性大，B 波动性小，所以sAsB. 【方法技巧】统计内容有抽样方法、样本特征数（均值、方差，直方图等） 、回归分析、预测（应用）等， 弄清基本概念，原理，计算方法等 2 （2010山东高考理科6）样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1， 则样本方差为（ ） (A) 6 5 (B) 6 5 (C) 2 (D)2 【命题立意】本题考查用样本的平均数、方差,考查了考生的运算求解能力. 【思路点拨】先由平均值求出 a，再利用方差的计算公式求解. 【规范解答】选 D,由题意知 1 a+0+1+2+3)=1 5 （,解得a=-1,所以样本方差为 222222 1 S =

3、(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) 5 =2,故选 D. 3. （2010山东高考文科6）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 【命题立意】本题考查样本数据的平均值和方差的概念及运算，考查了考生的运算求解能力. 【思路点拨】根据平均值和方差的公式直接计算即可，应注意去掉一个最高分和一个最低分后再计算. 【规范解答】选 B.去掉一个最高分 95 一个最低分

4、 89，剩下 5 个数的平均值为 1 (9090939493)92 5 ，方差为 22222 1(90 92)(9092)(9392)(9492)(9392) 2.8 5 . 4. （2010福建高考文科9）若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据 的中位数和平均数分别是( ) (A)91.5 和 91.5 (B)91.5 和 92 (C)91 和 91.5 (D)92 和 92 【命题立意】本题考查中位数与平均数的求解. 【思路点拨】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数. 【规范解答】选 A，数据从小到大排列后可得其中位数为 9

5、1 92 91.5 2 ，平均数为 87899091 92939496 91.5 8 . 【方法技巧】给出实际数据求解中位数和平均数等数据特征相对较为容易，但是同学也要理解“众数、中 位数、平均数与频率分布直方图的关系” ，会用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数. 1. 众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数； 2.中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与 x 轴交点的横 坐标称为中位数. 3. 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和. 5.（2010广东高考理科7）已知随机变

6、量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 P (2 X 4)=0.6826， 则 P（X4）=( ) (A)0.1588 (B)0.1587 (C)0.1586 (D)0.1585 【命题立意】本题考察随机变量的正态分布的意义. 【思路点拨】由已知条件先求出(24)P XX或，再求出(4)P X 的值. 【规范解答】选B.(24)1(24)1 0.68260.3174P XXPX 或 6. （2010湖南高考文科3） 某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关，则其回归方程可 能是（ ） (A) 10200yx (B) 10200yx (C) 10200yx (D) 10200yx 【

7、命题立意】以朴素的题材为背景，让学生感受线性回归的意义，变量之间的变化趋势. 【思路点拨】负相关说明斜率为负，而价格为 0 时，销量不能为负. 【规范解答】选 A.商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关，a0 排除 C. 【方法技巧】回归问题主要研究变量之间的相关性，变化趋势，分为正相关和负相关，线性相关不是研究 变量之间的确定性，而是相关性，即有关联.求斜率和截距常用给定的公式. 7 （2010江苏高考4）某棉纺厂为了了解一批棉 花的质量， 从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度 （棉 花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ， 所得数据均在 区间5,40中，其频率分布直方图如图所

8、示，则在抽 测的 100 根中，有_根棉花纤维的长度 小于 20mm. 【命题立意】本题考查频率分布直方图及其相关知识. 【思路点拨】频率分布直方图的纵坐标为频率/组距， 小矩形的面积为相应数据所占的频率. 【规范解答】由频率分布直方图观察得，棉花纤维的长度小于 20mm 的根数为 100（0.01+0.01+0.04）5=30. 【答案】30 【方法技巧】对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用的信息和数据.对 于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面 积之和为 1，当有两个小矩形的高相等时，说明数据落在这两个区间上

9、的频率相等，在进行计算时，不能 漏掉其中的任何一个. 8 （2010浙江高考文科11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 8 9 1 2 5 7 8 5 6 9 4 5 8 2 6 3 5 7 2 3 4 5 6 甲乙 【命题立意】本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题. 【思路点拨】把甲、乙两组数据从小到大排序后，找位于中间的数或中间两数的平均数. 【规范解答】甲位于中间的数是 45，把乙的数据排序后，位于中间的数是 46. 【答案】45，46 9 （2010福建高考文科4）将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组，绘制频率分布直方

10、图.若第一组 至第六组数据的频率之比为 2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于 27，则 n 等于 . 【命题立意】本题考查频率分布直方图中频数与频率的关系. 【思路点拨】频率之比即为频数之比，按比例设六组的频数，可解. 【规范解答】设第一组到第六组的频数分别为2a,3a,4a,6a,4a,a，2a3a4a27,a3, 2a3a4a6a4aa20a60. 【答案】60 10.（2010北京高考理科11）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘 制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知 a .若要从身高在 120 , 130） ，130 ，140) , 1

11、40 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参 加一项活动，则从身高在140 ，150内的学生中选取的人数应 为 . 【命题立意】本题考查频率颁布直方图，抽样方法中的分层抽样. 熟练掌握频率颁布直方图的性质，分层抽样的原理是解决本题的 关键. 【思路点拨】利用各矩形的面积之和为 1 可解出a.分层抽样时，选算出身高在140 ，150内的学生在三 组学生中所占比例，再从 18 人中抽取相应比例的人数. 【规范解答】各矩形的面积和为：0.005 100.035 10100.020 10a0.010 101，解得 0.030a .身高在 120 , 130） ，130 ，140)

12、, 140 , 150三组内的学生人数分别为：30,20,10，人数的 比为 3：2：1，因此从身高在140 ，150内的学生中选取的人数应为 18 1 6 =3 人. 【答案】0.030 3 11.（2010广东高考文科12）某市居民 20052009 年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支 出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示： 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 _ 线性相关关系. 【命题立意】本题考察统计中基本特征量的意义以及变量间的关系. 【思路点拨】按大小排列出收入数据的顺序，找出中间的那个数据. 【规范解答】收入数据按大小排列为：11

13、.5，12.1，13，13.3，15，所以中位数为 13. 【参考答案】13 正向 12 （2010安徽高考文科14）某地有居民 100 000 户，其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 l00 户进行 调查，发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房，其中普通家庭 50 户，高收人家庭 70 户依据这些 数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 【命题立意】本题主要考查分层抽样原理，考查考生用样本估计总体的基本思想.

14、【思路点拨】根据分层抽样原理，分别估计普通家庭和高收入家庭拥有 3 套或 3 套以上住房的户数， 进而得出 100 000 户居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的户数，用它除以 100 000 即可得到结果. 【规范解答】该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭估计约有： 5070 9900010005700 990100 户， 所以所占比例的合理估计约是5700 1000005.7%. 【参考答案】5.7% 13 （2010陕西高考理科19） 为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行 分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下： （）估计该校男生的人数； （）估

15、计该校学生身高在 170185cm 之间的概率； （） 从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任选 2 人， 求至少有 1 人身高在 170180cm 之间的概率. 【命题立意】本题考查了分层抽样的概念、条形图的识别、概率的简单求法等基础知识，考查了同学们利 用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】读懂频数条形图是解题的关键 【规范解答】 （）样本中男生人数为 40 ，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. （） 由统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70，所以样 本中学生身高在 170185cm 之间

16、的频率 35 0.5, 70 f 故由f估计该校学生身高在 170180cm 之间的概 率0.5.p （）样本中女生身高在 165180cm 之间的人数为 10，身高在 170180cm 之间的人数为 4. 设 A 表示事件“从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任选 2 人，至少有 1 人身高在 170180cm 之 间” ，则 2112 6644 22 1010 22 ( )1( ). 33 CC CC P AP A CC 或 14. （2010陕西高考文科9）为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进 行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下： （）估

17、计该校男生的人数； （）估计该校学生身高在 170185cm 之间的概率； （）从样 本中 身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 185190cm 之间 的概率. 【命题意图】本题考查了分层抽样的概念、条形图的识别、概率的简单求法等基础知识，考查了同学 们利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】读懂频数条形图是解题的关键 【规范解答】 （） （）同理科 （）样本中身高在 180185cm 之间的男生有 4 人，设其编号为，样本中身高 185190cm 之间的男生有 2 人，设其编号为， 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为： 故从样本中身高在 18

18、0190cm 之间的 6 名男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15，至少有 1 人身高在 185190cm 之间的可能结果数为 9，因此，所求概率 93. 155 P 15.（2010辽宁高考文科18）为了比较注射 A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔 做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积60，65）65，70）70，75）75，80） 频数3040201

19、0 表 2：注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积60，65）65，70）70，75）75，80）80，85） 频数1025203015 （）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; （）完成下面 22 列联表，并回答能否有 99.9的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药 物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3 疱疹面积小于 70mm2疱疹面积不小于 70mm2合计 注射药物 Aab 注射药物 Bcd 合计n 附：K2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001

20、k2.7063.8415.0246.63510.828 【命题立意】考查了频率分布直方图、中位数、独立性检验的知识. 【思路点拨】 （I）根据频率分布直方图，估计中位的范围，比较中位数的大小. （II）将各数据代入公式计算，比较 2 K. 【规范解答】 （I） 可以看出注射药物 A 后的疱疹面的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后的疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数. （II） 疱疹面积小于 70mm2疱疹面积不小于 70mm2合计 注射药物 Aa70b30100 注射药物 Bc35d65100 合

21、计10595n200 2 2 200 (70 6535 30) K24.56 100 100 105 95 . 由于 2 K10.828,所以有 99的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差 异”. 【方法技巧】 1.在做频率分布直方图时，一定要注意，小长方形的高表示的是频率与组距的比，不要当成了频率. 2.根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直线 两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间. 3.P(K210.828)0.01 是 “指注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积

22、没有差异” 的概率， 所以有关的概率是 1- P(K210.828)99.9. 16. （2010辽宁高考理科18）为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔 做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B. （）甲、乙是 200 只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率； （）下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物 A 后皮 肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积60，65）65，70）70，75）75，80） 频数30402010 表 2：

23、注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积60，65）65，70）70，75）75，80）80，85） 频数1025203015 （）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； （）完成下面 22 列 联表，并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药 物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3 疱疹面积小于 70mm2疱疹面积不小于 70mm2合计 注射药物 Aab 注射药物 Bcd 合计n 附：K2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd 【命题立意】本题考查了古典概型、频率分布直方图、独立性检验等知识. 【思

24、路点拨】 （I） （II）计算小长方形的高，作图 【规范解答】 （）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 99 198 100 200 2100 199 C P C （） （i） 所有可能的基本 事件总数 满足条件的基本 事件数 求概率 图注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数. （ii）表 3： 2 2 200 (70 6535 30) 24

25、.56 100 100 105 95 K 由于 K210.828，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差 异”. 【方法技巧】 1.在频率分布直方图中，小长方形的高是频率与组距的比值，不要当成了频率. 2.根据频率分布直方图确定中位所在的大致区间，就是在直方图中做一条垂直于横轴的直线，使直 线两侧的小长方形的面积大致相等，则直线的垂足所在区间就是中位数所在的区间. 3.P(K210.828)0.01 是“指注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积没有差异”的概 率，所以有关的概率是 1- P(K210.828)99.9 17.（2

26、010广东高考理科17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水 线上 40 件产品作为样本算出他们的质量（单位 ： 克） ，质量的分组区间为（490,495， （495,500， （510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示. （1）根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量. （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列. （3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的质量超过 505 克的概率. 【命题立意】本题考察统计中的频率分布直方图的意义、随机变量的分布列以及概率中

27、古典概型的计算. 【思路点拨】直方图中小矩形的面积等于样本在该范围的频率. 【规范解答】 （1）质量超过 505 克的产品分布在最右边的两个直方内，由频率分布直方图得其数量为： 40 (0.05 50.01 5)40 0.312 件. （2）Y的所有可能取值为0，1，2. 其中 2 28 2 40 378 (0) 780 C P Y C ， 11 2812 2 40 336 (1) 780 CC P Y C ， 2 12 2 40 66 (2) 780 C P Y C 所以，Y的分布列为 Y012 P378 780 336 780 66 780 （3）从流水线上任取 5 件产品，恰有 2 件产

28、品的质量超过 505 克的概率为： 32 2812 5 40 21 11231. 37 19703 CC C 【方法技巧】求随机变量的分布列，首先要明确变量的所有可能取值，在计算相应的概率. 18. （2010广东高考文科17）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机 抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示： （1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关? （2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽取几名? （3）在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率

29、【命题立意】本题是一道应用题，主要考察统计的意义以及分层抽样的方法和概率的基本计算. 【思路点拨】在计算概率是，要列出所有基本事件，从而求解. 【规范解答】解：（1）假设收看新闻节目的观众与年龄无关，则 1827 5842 ，即 99 2914 ，这是矛盾的，所以收看新闻节目的观众与年龄有关. （2）设应该抽取大于 40 岁的观众x名，则有： 5 2745 x ，解得 3.x 所以大于 40 岁的观众应该抽取 3 名. （3）设所抽取的 5 名观众中，a，b两人为 20 至 40 岁；C，D，E三人为 40 岁以上，从中任抽取 2 人，所有抽法有 ：ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，C

30、D，CE，DE共 10 种，其中恰有 1 名观 众的年龄为 20 至 40 岁的抽法有aC，aD，aE，bC，bD，bE共 6 种，所以恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率为： 63. 105 【方法技巧】在计算基本事件数时，可用字母把基本事件一一列出. 19. （2010安徽高考文科18） 某市 2010 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下 （主 要污染物为可吸入颗粒物）: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. () 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污染指数在 050 之间时，空气质量为优：在 51100 之间时，为良；在 101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 【命题立意】本题主要考查频率分布直方图，用样本估计总体的思想，考查学生运用统计知识解决简单实 际问题的能力，数据处理能力和应用意识. 【思路点拨】首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质 量为优、良、轻微污染