常微分方程课件

常微分方程课件Tag内容描述：<p>1、一元微积分学,应 学 数 学（二）,第六章 常微分方程,脚本编写：金立芸,教案制作：金立芸,第六章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程和一阶线性方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的 解法.,1676年詹姆士.贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程。直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程建立以后，立即成为表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。,例如，1846年9月23日，数学家与天文学家合作，通过微分方。</p><p>2、微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第五章,解,引例2 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,即求 s = s (t) .,微分方程: .,例,微分方程的基本概念,表示未知函数、未知函数导数以及自变量之间关系的关系式叫做微分方程 .,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,( n 阶显式微分方程),一般地, n 阶常微分方程的形式是,或,高。</p><p>3、常 微 分 方 程,常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和。</p><p>4、常微分方程,复习课,一、恰当方程,定义1.对称形式的一阶微分方程,如果存在一个可微函数f(x,y)，使得：,称该方程为恰当方程（或全微分方程）,通解：,作业：P30: 1.(1,4,7) 2.(1,3,5),二、变量分离方程,一阶微分方程，可化为形式：,称为可分离变量的微分方程.,作业：P45：1(1, 3),一阶线性微分方程的标准形式:,三、一阶线性微分方程,通解为,1. 齐次方程,(使用分离变量法),2. 非齐次方程,常数变易法,作业：P36:1., 2.,四、伯努利方程,作业：P45:1(4),五、积分因子法,只与x有关的积分因子m(x),只与y有关的积分因子m(y),作业：P51:1.,六、一阶隐。</p><p>5、解,一、问题的提出,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 。</p><p>6、第7章 微分方程模型,7.1 传染病模型 7.2 经济增长模型 7.3 正规战与游击战 7.4 药物在体内的分布与排除 7.5 香烟过滤嘴的作用,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,7.1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方。</p><p>7、常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。,常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的。</p><p>8、第八章 常微分方程,第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法,第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程,第三节 微分方程的应用举例,本章学习要求,1了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法. 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法法，用微分方程解决一些简单的实际问题.,一、微分方程的基本概。</p><p>9、常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。,常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的。</p><p>10、目录 上页 下页 返回 结束, 2.2 解的存在惟一性定理,引入：对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟一,有时不惟一.,确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要: (一)它是数值解和定性分析的前提; (二)若实际问题中建立的方程模型的解不是 存在且惟一的,该模型就是一个坏模型.,而同一方程满足,例1:初值问题 有解: 在 .,的解为:,. 它的存在区间为,例3:初始值问题:,有无穷多解,存在区间为:,2.2.1例子和思路 例 4: 证明初值问题,的解存在且惟一。,满足,取,惟一性证明: 设有两个解,这就证明了惟一性。,。</p><p>11、常微分方程OrdinaryDifferentialEquation2009-2010学年第一学期,曹鸿钧hjcao51682056(O),第一周9月1日,教材及参考资料,教材：常微分方程，(第三版）（07年精品教材），王高雄等（中山大学),高教出版社参考书目：1常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社2常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社3常微分方程及其应用，周义仓等编，科。</p><p>12、第九章常微分方程数值解,1Euler折线法1.Euler法2.改进Euler法3.Euler法的预估校正法2RungeKutta法1.二级RK法法2.二级RK法法3.三级三阶法,2020/5/30,第九章常微分方程数值解,2,对于常微分方程初值问题,则（9.1）在区间a,b上存在唯一解y=y(x).,如果f(x,y)在a,b(-,+)上连续，且关于y满足Lipschtz条件。</p><p>13、第五章常微分方程,1.可分离变量的微分方程2.一阶线性微分方程3.可降阶的二阶微分方程4.二阶常系数微分方程,微分方程：一般地，我们称表示未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程为微分方程。例如：y+xy=2x,ydy=2xdx常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程是偏微分方程。微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高。</p><p>14、5.6二维自主微分方程的周期解和极限环，本节讨论了二维自主微分方程的周期解。5.6.1周期解决方案和极限周期，系统，出发解决方案，中，解决方案(5.6.2)是系统(5.6.1)的周期解决方案，在相位平面中，周期解决方案轨道是闭合曲线。线性系统、中的轨道是在原点(0，0)为中心时围绕原点的一组闭合曲线。此时方程被解释为周期解。非线性系统，周期解决方案，除了从原点(0，0)开始的解决方案以外，其他轨道。</p><p>15、,第6章 常微分方程,.,知识目标,了解二阶微分方程解的结构； 理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各特解等概念； 掌握可分离变量方程的解法； 掌握一阶线性微分方程的解法； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.,.,能力目标,通过微分方程的学习，进一步培养学生独立自主的思考能力，明辨是非的判断能。</p><p>16、一、 向量场,设一阶微分方程,满足解的存在唯一性定理的条件。,，满足,常微分方程的解法介绍,解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点,的切线斜率是 。,它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的,每一点都与向量场在这一点的方向相切。,向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方 程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走 向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的 性质来研究解的性质。,例1。</p>