从微分方程

从微分方程Tag内容描述：<p>1、7常系数齐次线性微分方程,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,有一对共轭复根,重新组。</p><p>2、5全微分方程,一、全微分方程及其求法,1.定义,2.解法,(1)应用曲线积分与路径无关.,通解为,全微分方程,解,是全微分方程.,原方程的通解为,例1,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,(2)用直接凑全微分的方法,二、积分因子法,定义:,问题:如何求方程的积分因子?,(1)公式法:,求解不易,特殊地:,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有。</p><p>3、微分方程 1微分方程的基本概念 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解设所求曲线为 y = y( x) dy = 2 x dx y = 2xdx 即 y = x2 + C , 由于 x = 1时, y = 2 求得C = 1, 所求曲线方程为 y = x2 + 1 . 二、微分方程的定义。</p><p>4、9 欧拉方程 一、欧拉方程 形如 xn y( n) + 1 p xn-1 y( n-1) + L + pn-1 xy + pn y = f ( x) 的方程(其中 p1 , p2 L pn 为常数) 叫欧拉方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程. 作变量变换 x。</p><p>5、6高阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,一、基本概念,2阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式,得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为。</p><p>6、2 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,分析:,解法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,由题设条件,衰变规律,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,三、小结,思考题,求解微分方程,思考题解答,为。</p><p>7、微分方程和随机微分方程 吉敏 中国科学院数学与系统科学研究院 March 5 2013 随机现象无处不在 考虑常微分方程ODE x V x x Rn 其中V Rn连续 用此方程刻划某物理现象 作为物体的运动轨 迹 其解x t t 0 是t的光滑曲线。</p><p>8、5 可降阶的高阶微分方程 一、y( n ) =f ( x, y( k ) ,L, y( n-1) ) 型 不显含未知函数 y及 y,L, y( k -1) . 令 y( k ) = P( x) 则 y( k +1) = P, y( n ) = P ( n-k ) . P(x)的(n-k)阶方程 代入原方程, 得 P ( n-k ) = f ( x, P( x),L。</p><p>9、3齐次方程,一、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,二、可化为齐次的方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程。</p><p>10、第九节 微分方程应用模型举例 第十二章第十二章 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 三 同步练习三 同步练习 四 同步练习解答四 同步练习解答 1 建模建模 常微分方程模型常微分方程模型 1 基本步骤基本。</p><p>11、第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括。</p><p>12、6.1 微分方程的基本概念,定义,例,偏微分方程 .,常微分方程.,微分方程的阶:,微分方程中出现的未知函数的最高 阶导数的阶数称之为微分方程的阶.,一阶微分方程:,高阶微分方程:,注意:,注意:,线性与非线性微分方程：,微分方程的解:,等式的函数称之为微分方程的解.,代入微分方程能使方程成为恒,微分方程的解的分类：,(1)通解:,微分方程的解中含有任意常数,且独立任,意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:,不包含任何任意常数的解.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线 的斜。</p><p>13、725000 Department of Mathematics Ankang University Shaanxi Ankang 725000 摘 要 本文以一道物理问题 数学摆的微小震动为例 结合质点的振动理论 建立微分方程 并且根 其解的形式 说明共振现象发生的原因 然后 针。</p><p>14、1.一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,三、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解:这是一阶线性微分方程,例1,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上。</p><p>15、1,9.2一阶微分方程,最基本的微分方程是一阶微分方程。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0或y=f(x,y),其中F(x,y,y)是x,y,y的已知函数；f(x,y)是x,y的已知函数。,2,一、可分离变量方程,分离变量方程：,可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程,解法,分离变量法,为微分方程的解.,3,例题讲解,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分。</p><p>16、实验,ExperimentsinMathematics,微分方程求解,实验目的,实验内容,MATLAB,2、学会用Matlab求微分方程的数值解.,实验软件,1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.,1、求简单微分方程的解析解.,2、求微分方程的数值解.,微分方程的解析解,例1,输入：y=dsolve(Dy=1+y2)y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x),输出：y=ta。</p><p>17、线性微分方程通解的结构 第六节第六节 第十二章第十二章 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 三 同步练习三 同步练习 四 同步练习解答四 同步练习解答 一 主要内容一 主要内容 一一 二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程举例 引例引例设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物 如果使物体具有一 初始速度 如果使物体具有一 初始速度0 0 v 物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置 并在。</p>