单调性与曲线凹凸性

单调性与曲线凹凸性Tag内容描述：<p>1、3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,单调性的判定法 单调区间求法 曲线的凹凸性 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法,一、单调性的判定法,定理,证,应用拉氏定理,得,定理,例1 讨论函数y=x-sinx 的单调性。,解：y=1-cosx 0， y=x-sinx在( ,+ )上单调增加,几何上看：单调区间的分界点是使f (x)=0的点.,注1: 区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的单调性.,例2,解,注2:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例3,解,二、单调区间求法,问题:如上例。</p><p>2、第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,函数的单调性,一、 函数单调性的判定法,归纳以上结论，可得,该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单增（或单减）时未必有 在（a,b）内点点成立 .,注：,例1,注意,导数为零的点称为驻点；驻点处单调性发生了变化,例2,导数不存在的点处单调性发生了变化,说明:,驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点.,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,注意：,确定函数单调区间的步骤：,1.确定函数定义域；,2.求出驻点及导数不。</p><p>3、1,主要内容：,第十节 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法; 二、曲线的凹凸性与拐点.,2,f (x)0,f (x)0,观察结果,函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零,观察与思考,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,一、函数单调性的判定法,3,定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少,4,定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单。</p><p>4、第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、单调区间求法,六、小结,三、曲线凹凸的定义,五、曲线凹凸的判定,四、曲线的拐点及其求法,一、单调性的判别法,【定理】,【证】,应用拉氏定理,得,【例1】,【解】,【注意】函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,【说明】,定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.,【例2】,【解】,连续,如上图,【问题】函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调单调区间的分界点怎么求呢？,二。</p><p>5、第四节,一、函数单调性的判定法,下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,定理,一、 函数单调性的判定法,上页 下页 返回 结束,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,证,应用拉氏定理,得,上页 下页 返回 结束,例2,解,上页 下页 返回 结束,导数等于零的点是单调区间的分界点,例3,解,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,上页 下页 返回 结束,例4. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,上页 下页 返回 结束,说明:,例如,区间内。</p><p>6、第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性（二）,一、曲线凹凸的定义,二、曲线凹凸的判定,三、曲线的拐点及其求法,四、小结 思考题,一、曲线凹凸的定义,【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,【定义】,二、曲线凹凸的判定,【定理1】,【观察】,【证】,只证(1)如图,由拉氏中值定理可得,两式相减得,即,亦即,凹的,证完,【例1】,【解】,【注意到】,【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立.,这样的点称为拐点.,三、曲线的拐点及其求法,1、【定义】,【注意。</p><p>7、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,一、函数单调性的判定法,定理1 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加,证明 只证(1),在(a b)内任取两点x1 x2(x1x2),函数yexx1的定义域为( ) 因为在( 0)内 y0 所以函数 yexx1在0 )上单 调增加,解 yex1,例1 讨论函。</p>