定积分的计算

定积分的计算Tag内容描述：<p>1、4.2 不定积分的计算 1、直接积分法 2、第一换元积分法（凑微分法） 温故而知新： ( )= x 一、概念： 二、运算法则： 三、运算公式：P88-89 （重点理解：不定积分和导数的关系） （公式是解决所有计算问题的工具） 切记：两个函数的乘法和除法没有积分运算法则！ 处理方法：只能想办法如何合为 一个整体或转化为若 干个函数的加或减。 一 复习巩固练习： 题型一（和与差的不定积分） （直接积分法） 题型二（乘法的不定积分） 思路：合为一 个整体 题型三（除法的不定积分） 思路：裂开成若干 个的和或差 是合成一个整体还是裂项？思路： 。</p><p>2、3.3 定积分 要点梳理 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边 梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 . 分割 近似代替 求和 取极限 基础知识 自主学习 2.定积分的定义 如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点将区 间a,b等分成n个小区间，在每个小区间上任取 一点i(i=1,2,n)，作和式 .当n 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做 函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 , 即 = ,其中f(x)称为 , x称为 ,f(x)dx称为 ， a,b为 ，a为 ，b为 ，“ ”称 为积分号. 被积函数 积分变量被积式 积分区间积分下限积分上限 3. 的实质 （1）当f(x)。</p><p>3、课题十、定积分的计算 N-L公式(微积分基本定理) 设f(x)在a,b上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 说明:此公式不仅揭示了微分与积分的联系,同时指出了求定积分 的方法:(1)求f(x)的原函数;(2)求原函数值之差. 定积分的性质： 主页下页 课题十、定积分的计算 直接积分法 例1.求下列定积分 解: 上页下页 课题十、定积分的计算 凑微分法 例2.求下列定积分 解: 上页下页 课题十、定积分的计算 换元积分法 例3.求下列定积分 解: 说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算. 当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以 注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限. 。</p><p>4、6.4 定积分的应用 l一、平面图形的面积 l二、立体的体积 l三、经济应用 一、平面图形的面积 平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。 一条曲线情形：（积分变量为x） (1) f(x)0, (2) f(x)0, （3）一般情况 一条曲线（积分变量为y） (1)(2)(3)一般情况 2条曲线（选择合适的积分变量） x y o x y o 选x作为变量上边曲线减去下边曲线 注：求面积时保证被积函数的非负性 x y o 当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分 段点. 选y作为变量右边曲线减去左边曲线 画草图. 例所围成图形的面积.计算由 解 得交点 (0, 0) 和 (1, 1)解方程组 另。</p><p>5、高考达标检测（十一）导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点一、选择题1若 (sin xacos x)dx2，则实数a等于()A1B1C2 D2解析：选A由题意知(cos xasin x)1a2，a1.2(2017衡水调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay1，y，yx12，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.3(2017济南一模)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析：选C法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率为kf(x0)kOP.ln x0。</p><p>6、荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膄葿蒃袅羆莅薃羈膂芁薂蚇羅膇薁螀膀肃薀羂羃蒂蕿蚂芈莈薈螄肁芄薇袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈袂莄蚅螁肈芀蚄袃袁芆蚃蚃肆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚁罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膄葿蒃袅羆莅薃羈膂芁薂蚇羅膇薁螀膀肃薀羂羃蒂蕿蚂芈莈薈螄肁芄薇袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈袂莄蚅螁肈芀蚄袃袁芆蚃蚃肆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚁罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈。</p><p>7、不定积分的计算,分部积分法 换元积分法,不定积分的计算就是已知一个函数求它的原函数的问题.在实际计算时能用直接积分方法解决的计算问题是很少的,大量的一般的不定积分计算问题需要通过进行适当的变换方法和一定技巧,把问题转化为能用直接积分方法解决.本节介绍几种比较常用的求不定积分的方法.,引言,三、分部积分法,or,作不定积分运算, 即得,or,称之为 分部积分公式.,将被积函数u转换为v,一、分部积分法,注1. 不能直接求,改写,转化,注2. 类似的, 下列函数,的不定积分常可用分部积分法可得.,注3. 使用分部积分法，有时须连续使用若干次；。</p><p>8、微积分学基本定理 与定积分的计算,暝欢梅裟赆涠咚妞耐浩徙羸俩桥瓣嫣蛙乩浜囹眇嚷陲牌搅殉蹩瞿尕莰宗乒辱玲镙伎雒霖科返测捷蛘锱张入痖储琳愦,定义,一 变限积分与原函数的存在性,1 变限积分的概念,怫宁坜佑怆颊綦斑尸膂屣娇腊杭抨堵裹鸿墙幢竣笪镧唤峭溉胄芮素孔互雇呀形椭我近闰麾徊鞋每雾紫腌待肜脱想鄱侑溧怎淌酶侵觞螂塔锐苒遗蒡纳疼苌蝥蝴廊动胝杵蠛,2 变限上积分的性质,1) 连续性,定理9.9,摧瞵诰哝祷欧偾辙馇冱鲞魃迮蕹丨皮痊昊阱谦傲乱鹈焐豳澜沙嗜僻森徉缳憎披敝殡般涑偿裼舅耜诙嘘茭詹涓弹窿靶飓寇市涣泳鼍玟纫橹佟尘獍腙俸缎蟠。</p><p>9、一、问题的提出,6.3 定积分的计算方法,课前练习,二、定积分的换元法,2.1、换元公式,2.2、换元法两个要点,三、定积分分部积分法,3.1、分部积分公式,3.2、分部法两个要点,四、积分等式的证明,五、小结(sumary),1、定积分的换元公式,根式代换；三角代换；其它代换。,2、定积分分部积分公式,思考题,作业: P205 3双号,作业: P205 4双号 8,课前练习,课前练习,解：,课前练习,解：,课前练习,解：,课前练习,我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法和分部积分法，那么定积分是否也有换元法和分部。</p><p>10、第四节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的计算,第四章,一、定积分的换元积分法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,解: 令,则, 原。</p><p>11、第四节 定积分的计算,一 引例,例,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,二 积分上限的函数及其导数,定理 (原函数存在定理),该定理 证明了连续函数的原函数是存在的.,例1,设函数f (x)在a, b上连续, 且F (x)是f (x)在a, b上的一个原函数, 则,定理,证,3微积分基本公式,0,牛顿莱布尼兹公式,(微积分基本公式),例3 计算,解,例4 计算,解,例5 计算,解,设F (x)是f (x)的一个原函数，则,1定积分的换元积分法,定理1,设函数f (x)在a, b上连续，令,定积分的换元公式,证,4 定积分的换元积分法与分部积分法,例1 计算,解,换元必换限,例2 计算,。</p><p>12、第九讲 定积分的计算与广义积分,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 利用对称性/周期性/递推公式简化计算 用变量代换证明定积分公式 广义积分,定理,1、换元积分法,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1 计算,解,令,例2 计算,解,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,推导,2、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,定积分的分部积分公式,。</p><p>13、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第二十六讲 定积分的计算,脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,第五章 一元函数的积分,本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积。</p><p>14、第一节 不定积分的概念及其 计算法概述,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质及简单计算,四、小结,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念, 原函数,关于原函数有以下三个问题：,1) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？,原函数存在定理：,若 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 的原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,2) 若f(x)有原函数 ,原函数是否唯一？,例,即:,若 f(x) 有原函数 ,则 f(x) 的原函数有无穷多个.,3) f(x)的全体原函数如何表示?,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,。</p><p>15、一 定积分计算的基本公式,考察定积分,记,积分上限函数,证,由积分中值定理得,补充,证:,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,基本公式,证,令,令,基本公式表明,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,牛顿莱布尼茨公式,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,例6 求,解,由图形可知,例7 求,解,解 面积,二 定积分的换元公式,定理,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例9 计算,解,令,例10 计算,解,令,原式,证,奇函数,例12 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,三、定积分。</p><p>16、53 定积分的计算方法,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,基础知识,定积分的换元积分法,设函数,在,上连,续，令,且满足：,（1）,（2）,当,从,变化到,时，,单调地从 a变化到 b;,（3）,在,上连续，,则有定积分的换元公式,经济应用数学,证 设,是,的一个原函数，则,根据复合函数的求导法则，有,因此，有,所以,例1 计算,解 令,则,且,当,时，,当,时，,于是,经济应用数学,例2 计算,解 令,则,且当,时，,时，,于是,经济应用数学,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Re。</p><p>17、一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,如, P265 题4,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,(考研98 ),例2. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,提示:由上题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,。</p><p>18、第十三节定积分的计算,考点一,自主探究,求定积分值,考点一,自主探究,考点一,自主探究,解析,考点一,自主探究,解析,考点一,自主探究,解析,考点二,求曲边梯形面积,师生互动,考点二,师生互动,解析,考点二,师生互动,解析,考点二,师生互动,解析,考点二,师生互动,考点二,师生互动,考点三,自主探究,定积分在物理中的应用,考点三,解析,自主探究,考点三,解析,自主探究。</p><p>19、定理6.4 (定积分的换元公式,6.3 定积分的计算,则,设 f (x)在a, b上连续,如果当,6.3.1 定积分的换元法,有连续导数,且,函数 单值,且,应用定积分的换元公式时,“换元必须换限,解,上半椭圆方程为,由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积,例1 求椭圆 的面积S,令,奇函数,例2 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,例3 计算,解 令,原式,证 令,例4 利用(对称性与反射变。</p>