对角矩阵相似

对角矩阵相似Tag内容描述：<p>1、一、 相似矩阵及其性质 4.3相似矩阵与方阵的对角化 1. 相似矩阵有相同的秩。 2. 相似矩阵的行列式相等。 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 相似矩阵的性质： 矩阵的相似关系是一种等价关系！ 4. 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 证明 必要性： 二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应 充分性： 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如。</p><p>2、1,第三讲,矩阵对角化的步骤,第五章 相似矩阵与二次型,2,定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充,要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值,则A 必能相似于对角矩阵.,矩阵可对角化的条件,3,我们先假设存在可逆矩阵 ，使,将 用其列向量表示为,由 得 ，即,于是 ，这说明 是 的特征值， 是 的对应于特征值 的特征向量。这就是 的具体构造方法.,因为 可逆，所以,线性无关.,5,n1 + n2 + + ns = n.,矩阵对角化的步骤,设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设。</p><p>3、5.2 矩阵的相似对角化,5.2.1. 相似矩阵的基本概念 5.2.2. 矩阵的相似对角化 5.2.3. 可相似对角化矩阵的应用,5.2.1 相似矩阵的基本概念,定义,矩阵相似是一种等价关系.,定理,相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的迹、相同的行列式、相同的秩.,证明,A与B特征多项式相同,因而特征值相同.,相似矩阵的性质：,例,因此，x=0，y=-2.,解,通过计算，可知 2 是 A 的一个特征值,(1),相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆. 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,关于相似矩阵的一些其它性质：,与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵I本身.,与数量矩阵。</p><p>4、相似矩阵,记 AB,(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。,(2) AB AB,反之不对。,相似矩阵的简单性质：,相似矩阵和相似变换的定义：,相似与等价的关系,定理 n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵P, 使得 fA () = fB () .,证明： AB 存在可逆矩阵P, 使得 B = P1AP fB() = |EB| = |EP1 AP| = | P1(EA)P | = | P1 |EA| P | = | P1 | P |EA| = | P1 P | |EA| = |EA| = fA () .,说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A 的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故 可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记。</p><p>5、第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,矩阵对角化的步骤：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相。</p><p>6、第二节 相似矩阵和矩阵对角化,本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 。,相似矩阵的定义,定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称 ， 相似，记作 相似关系满足以下性质： （1）自反性： ； （2）对称性： ； （3）传递性：,一些有用的定理,定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使得,推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。,若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对角化 方阵 可对。</p><p>7、只需寻找,3对称方阵对角化和二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,本章中心,本章结构：,二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特。</p>