方向导数与梯度

方向导数与梯度Tag内容描述：<p>1、第九章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 。</p><p>2、第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 。</p><p>3、第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 Date阜师院数科院 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 Date阜师院数科院 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 Date阜师院数科院 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 。</p><p>4、第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 。</p><p>5、第九章 第三节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可微二元函数 为, ) 的方向导数为 向角 x o y z 半平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 求在原点处沿非零矢量 解 用定义。</p><p>6、第八章 多元函数微分学 第七节 上页 下页 返回 结束 方向导数与梯度 v 方向导数的定义与计算 v 梯度的概念与计算 引例. 设有一矩形金属板， 分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不 同， 如何确定这个方向？ 利用方向导数！ 上页 下页 返回 结束 凉快的地点？ 在其上坐标原点处有 一火源， 它使金属板发热 假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比 在点(3,2)处有一只 问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最快到达较 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向） 爬行 蚂蚁， 一、方向导数的定义与计算 (如图). 上页 下页 返回 。</p><p>7、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 爬行 一、问题的提出 讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题 二、方向导数的定义 （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以得到 故有方向导数 解 解由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元。</p><p>8、第七节 方向导数与梯度 1 2 3 4 5 6 7 梯度的基本运算公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 2. 梯度的几何意义 9 10 物理意义 11 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.12 13 14 15 四、小结 16 方向导数存在偏导数存在可微 17 思考与练习 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18 曲线 1. (1) 在点 解答提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数 M (1,1,1) 处切线的方向向量 19 机动 目。</p><p>9、第八章 第七节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 故 对于三元函数 为 ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切。</p><p>10、第八章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 。</p><p>11、袃蚈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅节螇羂肁芁蒇螄羇莁蕿羀芅莀蚂螃膁荿螄羈膇莈薄螁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈莅蒈肅膄莅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃螅袆芅蒂蒅虿芀蒁蚇袄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈葿薁螅芇蒈蚃羁膃薇螆螄聿薆蒅罿羅薅薈螂莄薄螀肇芀薃袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈膈螇肄芆芇蒆袇膂芇蕿肂肈芆蚁袅肄芅袃蚈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅节螇羂肁芁蒇螄羇莁蕿羀芅莀蚂螃膁荿螄羈膇莈薄螁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈莅蒈肅膄莅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃螅袆芅蒂蒅虿芀蒁蚇袄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈葿薁螅芇蒈蚃羁膃薇螆螄聿薆蒅罿羅薅薈螂莄薄螀肇芀薃袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈膈螇肄芆芇蒆袇膂芇蕿肂。</p><p>12、二、可微的条件,一、全微分的概念,多元函数的全微分 方向导数与梯度,第三节,第十一章,三、方向导数和梯度,一元函数 y = f (x)：,（当一元函数 y = f (x)可导时）,二元函数 z = f (x,y)：,函数的微分,一、全微分的概念,1. 问题的提出,在点(x,y)的全增量,问题,的线性函数来,近似代替函数的全增量？,可否用自变量的增量,若 z = f ( x, y )在点( x , y )处的全增量,可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,2. 全微分的定义,定义11.5,1 若函数在。</p><p>13、第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、问题的提出,实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行,问题：何为温度变化最剧烈的方向？,示意图,实例二 西点军校地形图,观察支流的流动方向,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,。</p><p>14、1. 方向导数,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,6-6 方向导数与梯度,6-6 方向导数与梯度,1. 方向导数,讨论函z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题,如果函数增量, 即当 l 与 x 轴同向, 即当 l 与 x 轴反向,关于方向导数的存在及计算：,方向导数是偏导数的推广,定理 若函数 在点 处可微, 则,在该点沿任一方向 的方向导数均存在, 且,其中 为 的方向余弦.,证,例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数 .,解,首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：,其次计算给定方向的方向余弦.,故所求方向导数,且 的方向余弦为 , 则,例2,解,根据。</p><p>15、第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解: 将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,。</p><p>16、1,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行,一、问题的提出,第六节 方向导数与梯度,2,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,5,(2)方向导数与偏导数的关系,6,7,8,证明,由于函数可微，则增量可表示。</p><p>17、方向导数与梯度,一、方向导数的定义,若 f 在 P0 点存在关于 x 的偏导数，则 f 在 P0 点沿 x 轴正向的方向导数,f 在 P0 点沿 x 轴负方向的方向导数则为,沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.,定理17.6:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,证明:,且有,由函数 f 在点 P0 可微 , 得,上式两边同除以 ,令 0 取极限，得,对于二元函数，相应结果为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.,l, y, x,z,P,P0,z = f (x,y),Q,M,是曲面在 点P0 处沿方向l 的变。</p>