分离变量法

分离变量法Tag内容描述：<p>1、1,可分离变量的微分方程,一阶线性微分方程,齐次方程,一阶微分方程包括：,第七章微分方程,2,如果一阶微分方程,等式的每一边仅是一个变量的函数与这个,可分离变量的方程,或,可以写成,的形式,易于化为形式,特点,变量的微分之积.,两端积分可得通解.,第二节可分离变量的微分方程,3,可分离变量的方程求通解的步骤是:,分离变量,两边积分,其中C为任意常数.,就是方程的通解,分离变量法.,1。</p><p>2、第二章 分离变量法 作业题-习题二 1. 设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初位移 如图所示，初速度为零, 又无外力作用,求弦 作横向振动时的位移函数u(x,t)。 解：如图所示,设弦作横向振动 时初始条件题为 则u(x,t)是下列定解问题的解 0l x u(x,t) h c 初速度为零 其中系数Cn和Dn由课本第23页(2.12)式得 该定解问题的解由课本第22页(2.11)式得 分别是 在0, l区 间上正弦展开的Fourier级数 的系数，即 求得的系数代入前面的级数解中，即可得 到原来定解问题的解： 6.解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为 u(x,t=0)=x, u(x=0,t)x=0, u(x=l,t)x。</p><p>3、数学物理方程 Equation for Mathematical Physics,第二章 分离变量法 Chpt2 Separation of variables method,2.1 分离变量法概述,求解数学物理方程定解问题的主要方法有：分离变量法(也叫驻波法、富氏级数法)、行波法(达朗贝尔法)、积分变换法、Green函数法(镜象法)等等。其中分离变量法是最常用、最基本和最重要的方法。 分离变量法的物理背景是波动现象，它的结构特点是时间和空间函数的乘积形式。于是这给我们一个启示：波动方程的解是否可以具有变量分离形式的解（即时间空间分离）？,2.1 分离变量法概述,一、基本思想： 1、利用变量。</p><p>4、Autumn 2013 Instructor : Y. Huang ylhuangnuist.edu.cn Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST,Partial Differential Equations,Ch4 分离变量法,正交函数系与广义Fourier级数 施图姆-刘维尔特征值问题 齐次方程与齐次边界条件的定解问题 非齐次方程与齐次边界条件的定解问题 非齐次边界条件的处理,第3章讨论了无界或半无界问题，介绍了波动方程初值问题的求解方法。本章讨论有界问题，介绍解决有界问题的有效方法分离变量法。,分离变量法来源于物理学中如下事实：,它是求解数学物理定解问题的一种最。</p><p>5、分离变量法（三）,拉普拉斯方程,散热片的横截面为一矩形0,a 0,b，它的一边 y=b 处于较高的温度u0，其它三边保持较低的温度u1。求横截面上的稳恒的温度分布。,解：,因非齐次方程的解经叠加以后一般不再是原方程的解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题，在这里，给出求解非齐次方程定解问题的常用方法。,非齐次方程的解法,如果要研究长为l 的弦，两端固定在 x=0, x=l 两点，在受到强迫力的作用下所产生的强迫振动现象，则归结为求解定解问题。,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,非齐次方程的求解思路 用分解原理得。</p><p>6、注,4) 确定系数 Cn、Dn,注 1. 分离变量法 ( 特征函数法 ) 解得按特征函数系展开 的级数解, 每一项都满足DE和齐次BC,2) 求X(x)和T(t)的非零解,1 定解问题,2 特征函数,二 抛物型方程有界杆的无热源热传导,BC:左1右3,注,2 特征函数,作业 ex2-5 ,6,12,17 第6题要求写出1-4全部步骤，其余可以只写步骤3和4,2)所有函数展开成特征函数系 的级数,用常数变易法得,作业 ex2-9,一 可转化为齐次DE的情况,定解问题,1的问题,5 非齐BC的齐次化,二 转化为非齐DE的情况,定解问题,所以,4 的问题,令,其它类型BC的情况,作业 ex2-10,18,展开。</p><p>7、第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,一、有界弦的自由振动,令,代入方程：,令,。</p><p>8、下午2时53分,1,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,下午2时53分,2,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,一、有界弦。</p><p>9、第三章分离变量法,1.叠加原理,本章介绍求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法分离变量法。其理论基础是Fourier级数展开，也称Fourier级数方法。在此之前，先介绍叠加原理,在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。,例。</p><p>10、第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方。</p><p>11、第三章 分离变量法 3 2 基础训练 3 2 1 例题分析 例1 解下列定解问题 1 解 分离变量 即令 2 代入方程 1 中第一式 得 3 4 其中为分离常数 2 式代入边界条件 1 中第二式 得 5 相应的本证值问题为求 6 的非零解 下面针。</p><p>12、14分离变量法 本章介绍求解偏微分方程定解问题 数学物理方程 的最基本方法 分离变量法 Example 14 1求波动方程 2u t2 a2 2u x2 0 的通解 a 为常数 Solution方程可改写为 t a x t a x u 0 令 x at x at 则 x t a a 可得 u 0 其通解为 u f g f x at g x at 1 其中 f 和 g 是任意函数 波动方程的通解 由。</p><p>13、1 Wuhan University 武汉大学 物理科学与技术学院 Mathematical Methods in Physics 姚端正 2 Wuhan University 第二篇数学物理方程 Mathematical Equationgs in Physics 要想探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿 3 一 本课程的内容和特点 数学物理方法 复变函数 第一篇 数学物理方程 第二篇 特殊函数。</p><p>14、第二章分离变量法 作业题 习题二 奔谎褐孵体畦顷炬首四齐胎英盾寓阑裸攫政唐是足氏太窍总救崭品晒乐邹数 第二章分离变量法作业题数 第二章分离变量法作业题 1 设弦的两端固定于x 0及x l 弦的初位移如图所示 初速度为零 又无外力作用 求弦作横向振动时的位移函数u x t 解 如图所示 设弦作横向振动时初始条件题为 则u x t 是下列定解问题的解 0 l x u x t h c 初速度为零 己或姥。</p><p>15、第二章 分离变量法,作业题-习题二,1. 设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初位移如图所示，初速度为零, 又无外力作用,求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。,解：如图所示,设弦作横向振动时初始条件题为,则u(x,t)是下列定解问题的解,0,l,x,u(x,t),h,c,初速度为零,其中系数Cn和Dn由课本第23页(2.12)式得,该定解问题的解由课本第22页(2.11)式得,分。</p>