傅里叶级数

傅里叶级数Tag内容描述：<p>1、频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系(系统的频率响应函数)，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,4.1 信号分解为正交函数,矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集 信号的正交分解,第四章 傅里叶变换和系统的频域。</p><p>2、1. 函数的傅里叶级数展开,一.傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成 其中 是 阶谐波, 我们称上式右端的级数是由 所确定的傅里叶级数,二. 三角函数的正交性 设 是任意实数, 是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有 利用积化和差的三角公式容易证明 还有,我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为 的区间上定义。</p><p>3、第八节 一般周期函数的傅里叶级数,一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数,二、正弦级数与余弦级数,回顾：函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2 的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,一、以2l 为周期的傅氏级数,定理 设周期为 2l 的周期函数 f (x) 。</p><p>4、引言 时域分析中,以冲激信号(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和； 而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。,第三章 傅立叶变换,频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间。</p><p>5、1 -,第三节 傅里叶级数,三角函数系及其正交性 函数展开成傅立叶级数 一般周期函数展开成傅立叶级数,- 2 -,一 三角函数系及其正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,- 3 -,函数系,称为三角函数系。,定义,设函数系,是一簇定义在,上的平方可积的函数，,如果满足条件：,1),2),则称函数系,是区间,上正交函,数系。,- 4 -,同理,由于,- 5 -,因此，,三角函数系是区间,上的正交函数系。,同理，,三角函数系是区间,上的正交函数系。,- 6 -,二 函。</p><p>6、第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中。</p><p>7、1、比较两个波形的傅里叶级数可以看到，收敛有快有慢，取决于原信号变化的快慢； 2、当波形不存在间断点时，傅里叶级数在任意点都可以收敛到原函数； 3、当波形存在间断点时，存在9%的过冲，无论展开到多少项，这一现象称为Gibbs过冲或者Gibbs现象。</p><p>8、第四章 周期信号的傅里叶级数表示,连续周期信号的频域分析,离散周期信号的频域分析,常见连续时间周期信号的频谱,常见离散时间周期信号的频谱,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,(1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,(2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,意义：,周期信号的频域分析,连续时间周期信号的频域分析,连续时间周期信号的。</p><p>9、3.2 周期信号傅里叶 级数分析,主要内容,三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差,一三角函数形式的傅里叶级数,由积分可知,1.三角函数集,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2级数形式,其他形式,余弦形式,正弦形式,关系曲线称为幅度频谱图；,关系曲线称为相位频谱图。,可画出频谱图。,周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。,幅度频率特性和相位频率特。</p><p>10、第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,以2 l 为周期的函数的,傅里叶展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 令, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,是以 2 为周期的周期函。</p><p>11、第十五章 傅里叶级数,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,三、收敛定理,15.1 傅里叶级数,一、 三角级数 正交函数系,15.1 傅里叶级数,在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简,所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 为振幅， 为初相角，,较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加,单的周期运动，可用正弦函数 来描写。,为角频率，于是简谐振动 的周期是,1.三角级数,三角级数,定理15.1,若级数,(4),收敛, 则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,2.三角函数系的正交性,构成三角级数的基本要素:,(5),性质:,(7),(。</p><p>12、11.3 傅里叶（Fourier)级数,傅里叶级数 傅里叶级数的收敛定理 三 函数展开成傅里叶级数 四 以2T为周期的周期函数的傅里叶级数,一 傅里叶级数,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且f (x) 在,上可积，则f (x) 的傅里叶级数定义为如下的三角级数：,其中,称为f (x) 的傅里叶系数。,解:,上的表达式为,求 f (x) 的傅里叶级数.,例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,所以 f (x) 的傅里叶级数为：,注：（1）当f (x) 为偶函数时，,f (x) 的傅里叶级数为余弦级数：,二 傅里叶级数的收敛定理,x 为f (x)间断点,x 为f (x)连续点,(1)在区间-, 上连。</p><p>13、第七节 傅里叶级数,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数或余弦级数,一、三角级数,三角函数系的正交性,一.三角级数 三角函数系的正交性,在高等数学学习当中，接触两类基函数： 函数在一点的性质 周期函数(整体性质) Fourier级数 三角级数 表达周期函数,谐波分析,称为三角级数.,简单的周期运动 :,复杂的周期运动 :,得级数,(一)三角级数 表达周期函数,1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数:,1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.,1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性,得到。</p><p>14、8-5 傅里叶级数展开,研究周期（函数）现象产生； 三角函数是最简单的周期函数； 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的级数表示；,傅里叶(Fourier)，也译作傅立叶，法国数学家、物理学家。 1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。 9岁父母双亡， 被当地教堂收养。 12岁由一主教送入地方军事学校读书。 17岁（1785）回乡教数学。 1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年当选为科学院院。</p><p>15、4.2 周期信号的 傅立叶级数展开,周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t)=f ( t+mT ),周期信号,其中 m 为整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。,周期信号的特点： （1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为,周期信号,（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信号 可以写成,（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有,正交性:（m 和 n 都是整数）,三角函数形式的傅立叶级数,三角函数集 在区间 内是一完备正交函数集。,。</p><p>16、第三章傅里叶变换,1.利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散谱；2.利用傅里叶积分分析非周期信号的连续谱；3.理解信号的时域与频域间的关系；4.用傅里叶变换的性质进行正逆变换；5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理。,本章重点,3.1引言,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1822年首次发表“热的分析理论”中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗。</p>