周期函数的傅立叶级数.ppt

8-5 傅里叶级数展开,研究周期（函数）现象产生； 三角函数是最简单的周期函数； 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的级数表示；,傅里叶(Fourier)，也译作傅立叶，法国数学家、物理学家。 1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。 9岁父母双亡， 被当地教堂收养。 12岁由一主教送入地方军事学校读书。 17岁（1785）回乡教数学。 1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书。 数学方面 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。 物理方面 他是傅立叶定律的创始人，1822 年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。,本节内容,一、三角级数及三角函数系的正交性 二、周期函数展开为傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、一般周期函数的傅里叶级数 五、任意区间上非周期函数的傅里叶级数 P316，自学,三角函数公式：,诱导公式：,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,2、三角函数系的正交性,基； 单位正交；,4、函数的周期性延拓（P312）,正弦级数为：,练习 将函数,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,设,已知,又,作业：,P317，习题8-5，1(1) ， 3。,小结：,1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意: 若,为间断点,则级数收敛于,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开唯一吗 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .,思考：,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于 .,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,3. 设,又设,求当,的表达式 .,解: 由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域,4. 写出函数,傅氏级数的和函数 .,答案:,备用题 1.,叶级数展式为,则其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里,2. 设,是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令,狄利克雷 (18 05 1859),德国数学家.,对数论, 数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举