概率论与数理统计教程

概率论与数理统计教程Tag内容描述：<p>1、概率论与数理统计 第十讲 北京工业大学应用数理学院 3.6 随机变量的独立性 事件A与 B独立的定义是： 若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互 独立 。 设 X, Y是两个随即变量, 对任意的 x, y, 若 则称 X与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘 分布函数表示上式, 就是 其中是(X,Y)的联合密度， 若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性 定义等价于：对任意 x, y R, 有 这里“几乎总成立”的含义是：在平面上除 去一个面积为零的集合外，公式成立。 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。 几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。 若 (X,Y)是离散型随机。</p><p>2、数学的一个重要任务是从数量方面分析、揭示、表达现实世界 中普遍地存在着的变量之间的关系。一般来说，变量之间的关系 可分为两类： 1. 确定性的函数关系：已知一个（或几个）变量的值，就可以 精确地求出另一个变量的值。如 V = 4/3R3，S = V t 2. 非确定性的相关关系：几个变量之间存在着密切的关系，但 不能由一个（或几个）变量的值精确地求出另一个变量的值。在 相关关系中至少有一个变量是随机变量。如人的血压与年龄，环 境因子与农作物的产量，树木的直径与高度，人均收入与商品的 销量，商品的价格与消费者的需求量。 回归分析。</p><p>3、第六节 分布拟合检验,二、偏度、峰度检验,三、小结,一、 拟合检验法,说明,(1)在这里备择假设H1可以不必写出.,则上述假设相当于,则上述假设相当于,3.皮尔逊定理,定理,注意,解,例1,试检验这颗骰子的六个面是否匀称?,根据题意需要检验假设,把一颗骰子重复抛掷 300 次, 结果如下:,H0: 这颗骰子的六个面是匀称的.,其中 X 表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能值只有 6 个),在 H0 为真的前提下,所以拒绝 H0,认为这颗骰子的六个面不是匀称的.,在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的 粒子数, 共观察了100次, 得结果如。</p><p>4、二、离散型随机变量的边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘分布,一、边缘分布函数,四、小结,第二节 边缘分布,一、边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.,二、离散型随机变量的边缘分布律,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为,例1 已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,解,例2,三、连续型随机变量的边缘分布,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,解,例3,例4,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,二维正态分布和其边缘分布的关系,单击。</p><p>5、第七节 单侧置信区间,二、基本概念,三、典型例题,一、问题的引入,四、小结,一、问题的引入,但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.,二、基本概念,1. 单侧置信区间的定义,2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间,三、典型例题,设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值。</p><p>6、第一节 点估计,一、点估计问题的提法,二、估计量的求法,三、小结,一、点估计问题的提法,设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.,例1,解,用样本均值来估计总体的均值 E(X).,点估计问题的一般提法,解,例2,二、估计量的求法,由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何求估计量是关键问题.,常用构造估计量的方法: (两种),矩估计法和最大似然估计法.,1. 矩估计法,(X为连续型),(X为离散型),矩估计法的定义,用。</p><p>7、一、随机变量的相互独立性,二、二维随机变量的推广,三、小结,第四节 相互独立的随机变量,一、随机变量的相互独立性,1.定义,2.说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,解,例1,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,解,由于X 与Y 相互独立,例2,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,于是,二、二维。</p><p>8、概率论与数理统计 第七讲,北京工业大学应用数理学院,问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布,2.4 随机变量函数的分布,求截面面积 的分布。,又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布，,求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。,一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。,这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。,由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3。</p><p>9、第七章 假设检验7.1 设总体，其中参数，为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2 设取自正态总体，其中参数未知，是子样均值，如对检验问题取检验的拒绝域：，试决定常数，使检验的显著性水平为0.05解：因为，故在成立的条件下，所以=1.176。7.3 设子样取自正态总体，已知，对假设检验，取临界域，（1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；（2）设=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二。</p><p>10、概率论与数理统计 第六讲,主讲教师：李学京,北京工业大学应用数理学院,连续型随机变量 X 所有可能取值充满若干个区间。,2.3 连续型随机变量,PX=a=?,一台电视机的使用寿命是5年概率有多大？我们关心的是什么问题？,PXa=?,例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:,2.3.1 频率直方图,129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 13。</p><p>11、概率论与数理统计 第四讲,主讲教师：程维虎教授,北京工业大学应用数理学院,显然，有 P(A|B)=P(A).,这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。,1.5.1 两事件的独立,A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，,先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设,1.5 事件的独立性,由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B).,用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。, 不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约；, 反映了事件A与 B的对等性。,定义1：若两事件A, B满足 P(AB)=。</p><p>12、概率论与数理统计教程,魏宗舒 编 高等教育出版社,目 录,第一章 事件与概率 第二章 离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 第五章 数理统计的基本概念 第六章 点估计 第七章 假设检验 第八章 方差分析与回归分析,第一章,事件与概率,1.1 随机事件和样本空间,一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系,一、随机试验,1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机 说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现。</p><p>13、1 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 习题习题 1.1 1 写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个 解： （1） = (0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)， 其中出现正面记为 1，出现反面记为 0； （2） = (x1 , x2 , x3)：x1 , 。</p><p>14、1.3 概率的性质,概率的定义,就称P为F上的概率测度，简称为概率，称(,F,P)为概率空间.,性质1.3.1 P()=0. 注意: 逆不一定成立.,性质1.3.2 (有限可加性) 若AB=，则 P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件. 性质1.3.3 (对立事件公式) P( )=1P(A).,1.3.1 概率的可加性,(1) = + + P()= P( + +)= P() +P ()+P ()+ (公理3可列可加性) P ()=P ()+ P ()+ ,故P ()=0 (2) A1 + A2 + + An = A1 + A2 + + An + + + P(A1 + A2 + + An )= P(A1 + A2 + + An + + +) = P(A1) + P( A2) + + P(An ) + P() + P() + 故P(Ai)= P(Ai) (i=1,2,n). (3) A1,A2。</p>