高阶线性微分方程

高阶线性微分方程Tag内容描述：<p>1、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力。</p><p>2、第十二章 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、线性微分方程的定义 第十二章 第十二章 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 第十二章 证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证:代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 第十二章 说明: 不一定是所给二阶方程的通解 . 例如,是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为。</p><p>3、高阶线性微分方程,第六节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程。</p><p>4、1,一. 二阶线性齐次方程解的结构,二. 二阶线性非齐次方程解的结构,三、小结及作业,2,第七节 高阶线性微分方程,一阶线性方程,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,高阶线性微分方程情形,3,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,4,定理得证 .,一. 二阶线性齐次方程解的结构,定理 1 若函数,是二阶线性齐次方程,的两个解, 则,也是该方程的解.,证: 将,代入方程左边 , 得,说明: 解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解,例如,是齐次方程的解 ,也是齐次,方程的解 ,并不是通解 .,但是,5,定义: 设,是。</p><p>5、7.6 高阶线性微分方程,一、举例,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程的一般形式 L（y)=,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,注:,如果只能观察一个解: y1(x), 则,补充,可观察出一个特解,代入(1)式, 得,则有,证明:,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,的一阶方程,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,特解的叠加原理,例如：,非齐次线性方程通解求法 - 常数变易法,设对应齐次方程通解为。</p><p>6、解,受力分析,一、二阶线性微分方程举例,1 方程举例,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,例2,解,串联电路的振荡方程,即,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,2 二阶线性微分方程的定义,二、线性微分方程的解的结构,1 二阶齐次线性方程解的结构,问题,证,例如,线性无关,线性相关,特别地,例如,推论,2 二阶非齐次线性方程的解的结构,证,证,解的叠加原理,三、常数变易法,1 齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,2 非齐次线性。</p><p>7、1 -,第四节 高阶线性方程,二阶齐次线性方程的通解结构 二阶非齐次线性方程的通解结构 三 n阶线性方程的通解结构,一 二阶齐次线性方程的通解结构,证毕,是二阶齐次线性方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,二阶齐次线性方程一般形式,- 3 -,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,- 4 -,定义,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无。</p><p>8、a，1，高阶常系数一次线性方程式，一，定义，二，二次常系数一次线性方程式解法，三，n次常系数一次线性方程式解法，a，2，一，定义，n次常系数线性微分方程的标准形式，二次常系数一次线性方程式的标准形式，二次常系数非一次线性方程式的标准形式，a，3， n次常系数线性微分方程式的标准形式n次常系数一次线性微分方程式的标准形式是将(2)的特征方程式、a、4、2、2次常系数一次线性方程式解法、-特征方程。</p><p>9、()()( 2 2 xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程 时，时，当当0)( xf 二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程阶线性微分方程 ).()()()( 1 )1( 1 )( xfyxPyxPyxPy nn nn 特点特点 未知函数及其各阶导数都是一。</p><p>10、7.5复习内容，可约微分方程的解，归约方法，连续积分，阶，阶，n次不定积分(无常数)，都是n -1次多项式。1。在第6、2节中学习交流高阶线性微分方程的解的结构。线性齐次方程解的结构。线性非齐次方程解的结构。这叫做齐次方程。高阶线性微分方程的概念，复习：一阶线性方程，一般解：非齐次方程的特殊解，齐次方程Y的一般解，3，学习交换PPT，证明二阶线性齐次方程的解的结构是二阶线性齐次方程的两个解。定理1。</p><p>11、解,受力分析,12.6 高阶线性微分方程,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,3.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有。</p><p>12、齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程 高阶变系数线性微分方程 小 结,第四节 高阶线性微分方程,4.2 非齐次线性微分方程,定理1. 设y1 , y2 是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个解, 则,y = y1 - y2,是对应的二阶齐次线性微分方程(2)的解.,1. 二阶非齐次线性方程解的性质与结构,记,证 因为x1 , x2是方程(1)的两个解, 所以有,两式相减得,是对应齐次方程(2)的。</p><p>13、第二节,高阶线性微分方程,线性微分方程解的结构,性质2,性质3,性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理),求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,非齐次类型1.,设非齐次线性方程(1)的特解为,非特征根,0,特征根,1,类型2.,一. 线性微分方程解的结构,例1,例2,二. 常系数齐次微分方程,例3,例4,例5,例6。</p>