函数的间断点

函数的间断点Tag内容描述：<p>1、一、可去间断点 二、跳跃间断点 三、第二类间断点 四、小结 第八节 函数的间断点及其类型 第一类间断点 第二类间断点 1.跳跃间断点 例 解 2.可去间断点 例 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如上例中 , 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例 解 例 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. 例 解 四、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的。</p><p>2、YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 四、 函数的间断点及其分类 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 三、 初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 连续函数的运算性质 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例1. 设函数 一、 函数连续的概念 定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 设函数 且 ，讨论在 处的连续性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 由例题可见 , 函数在点 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义 ,存在 ; 例2. 。</p><p>3、2019年5月24日星期五,1,第八节 函数的连续性与函数的间断点,一、问题的提出,二、函数的连续性,三、函数的间断点,四、小结与思考判断题,第一章,2019年5月24日星期五,2,一、问题的提出,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。,连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。,2019年5月24日星期五,3,二、函数的连续性,1.函数的增量,2019年5月24日星期五,4,2、函数在一点连续的定义,2019年5月24日星期五,5,2019年5月24日星期五,6,例1,证,由定义知，,2019年5月24日星期五,7,3、单侧连。</p><p>4、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,下页 返回 结束,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,上页 下页 返回 结束,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,在闭区间,上的连。</p><p>5、1. 增量,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,2. 连续的定义,定义1,定义2,例1,解,由函数连续的定义知:,3. 单侧连续,定理,例2,解,所以f (x)在x0处右连续但不左连续 ,4. 其它称法,例3,证,二、函数的间断点,定义,间断点的三种情形：,1. 跳跃间断点,例4,解,2. 可去间断点,例5,解,例5,间断点的分类:,定义,例6,解,无穷间断点,例7,解,振荡间断点,几个特殊函数的连续性:,在定义域R内每一点处都间断,仅在x=0处连续.,且都是第二类间断点.,1. 狄利克雷函数,在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值函数处处连续.,判断下列图形中的间断点的类。</p><p>6、1,思考与练习,2,3.,3,4,x = 2 是第二类无穷间断点 .,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,解,为间断点,5,5.,6,解,右连续但不左连续,7,6. 求极限,8,间断点的类型.,7. 确定函数,9,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点。</p><p>7、1. 增量,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,2. 连续的两个等价的定义,定义1,定义2,例1,解:,由函数连续的定义知,3.单侧连续,定理,例2,解:,练习：,解:,4.其它一些称法,二、函数的间断点,定义,间断点的三种情形：, 跳跃间断点,例3,解:,解:,例4, 可去间断点,间断点的分类:,定义,例5,解:,无穷间断点,例6,解:,振荡间断点,判断下列图形中的间断点的类型:,第一类间断点,（跳跃间断点）,第二类间断点,（半无穷间断点）,第一类间断点,（可去间断点）,练习,解:,思考题,解答：,解：,反例,解：,解：,1. 函数在一点处、区间内(上)连续的概念。</p><p>8、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在左端点 处是右。</p><p>9、1.8 函数的连续性与间断点,燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪,第1章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义1:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,连续. 否则就,说函数,是间断的.,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例1 考察下列函数在点,的连续性,(1),(2),(3),解,无定义，所以,在,不连续,虽然有定义,但是,不相同，所以,(3),由定义，由于,点的极限,所以,例2,证,由定义1知,试证函数,处连续.,函数,处连续.,。</p><p>10、1,思考与练习,2,3.,3,4,x = 2 是第二类无穷间断点 .,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,解,为间断点,5,5.,6,解,右连续但不左连续,7,6. 求极限,8,间断点的类型.,7. 确定函数,9,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点。</p><p>11、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,(1),按定义2得:,(2),类似可证.,图,例2,证,按定义2得：,3.单侧连续,定理,例3,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,直观上,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例4,证,注,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 对于可去间断点,只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,例7,解,( 可去 ),如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点：,如例7中,3.第二类间断点,例8,解,例8,解,注意 不要以。</p><p>12、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,。</p><p>13、第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、小结,一、函数的连续性,1、变量的增量,2.函数在一点处的连续定义,从几何直观上说一个函数如果是连续变化 的，那么它的图形应该是一条连续不断的曲线,说明 这两个定义都可用来判断一个函数在某点 处是否连续。通常判断分段函数在分段点处的连 续性时，用定义2比较方便,解,例1,例2,证,所以,由定义2知,练习,解,3. 函数在区间上的连续定义,如果函数在开区间(a,b)上每一点都连 续,则称函数在该区间上连续.,例如,二、函数的间断点,例4,o,x,y,o,x,y,2,4,2,4,1.可去间断点,注。</p><p>14、1,第八节 函数的连续性与间断点,函数的连续(continuity),函数的间断点,(discontinuous point),第一章 函数与极限,2,1. 函数的增量,自变量,:自变量在,的增量;,:函数的,增量.,一、函数的连续性,3,连续,2. 连续的定义,定义1,设函数 f (x)在,内有定义,称函数f (x)在x0处,x0为函数f (x)的,连续点.,定义2,若,称函数f (x)在x0处,连续.,充分必要条件,4,连续性的三种定义形式不同,本质相同.,f (x)在,内有定义;,(1),(2),(3),三个要素:,定义3,存在;,5,例,证,都是连续的.,6,例,证,试证函数,在 x=0 连续.,7,3. 左、右连续,左连续,右连续,左连续,右连续,。</p><p>15、2.3.4 函数的间断点,间断点的分类：,第一类：左右极限都存在的间断点。,第二类：左右极限至少一个不存在的间断点。,例1 讨论符号函数在x=0处的连续性。,解：,A. 最值定理与有界性定理,2.3.5 闭区间上连续函数的性质,例如,注意：,（1）两个条件（闭区间、连续）缺一不可。,定理 21 （最值定理）,闭区间上连续函数必有界。,（2）最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一。,推论（有界性定理）,定理 22（ 介值定理）,几何意义：,曲线与直线 y =c 至少有一个交点。,几何意义：,曲线与 x 轴至少有一个交点。,推论（零值定理）,零值定理常被用来。</p><p>16、第一章 函数、极限与连续,1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念 1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质,1-6 函数的连续性及间断点,一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点,一、函数的连续性,【引例】怎样定义连续？什么是“不连续”？,【定义】 在点 处连续,（1） 在点 处有定义；,（2） （即 在 处极限存在）；,【注】 在点 处连续连续必须满足的三个条件：,1-6 函数的连续性及间断点,【例】已知 ，且 在 点连续，求,【例】证明。</p><p>17、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在左端点 处是右。</p><p>18、一、函数的连续性,二、函数的间断点,1.8 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为,在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,函数的连续性定义,提示:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e ,提示:,函数的连续性定义,设函数 y=f(x) 在。</p><p>19、一、函数的连续性,函数的增量,函数的连续性与间断点,下页,上页,首页,连续的定义,下页,上页,首页,连续的定义,下页,上页,首页,研究函数,例1,在点x=1,x=2处的连续性;,解:,是连续点,是跳跃间断点,下页,上页,首页,例1,单侧连续,定理,下页,上页,首页,左右连续,例2,解,右连续但不左连续 ,下页,上页,首页,例2,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,下页,上页,首页,连续函数与连续区间,例3,证,下页,上页,首页,例3,二、函数的间断点,下。</p><p>20、1,第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、小结 思考题,2,【引言】,自然界中的许多现象，如气温的变化、 河水的流动、动植物的生长等等都是 连续地变化着的；这种现象在数学上 的反映，就是函数的连续性.,3,一、函数的连续性,1.【增量】,【增量的几何解释】,4,2.【连续的定义】,【概念描述】,【定义1】,连续的本质,5,【定义2】,【注】f (x)在x0处连续的三个条件（三条缺一不可）,则称函数 y = f (x) 在点x0处连续.,6,【注解】,条件,条件,在本质上是一样的，只是形式上的不同,条件式清楚地反映了连续概念的实。</p>