函数的连续性与间断点(23).ppt

一、函数的连续性,二、函数的间断点,1.8 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为,在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,函数的连续性定义,提示:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e ,提示:,函数的连续性定义,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,左连续与右连续,结论,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,函数的连续性定义,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,注:,连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的,这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且,如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的,这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且,连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,二、函数的间断点,间断点的定义,设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一,(1)在x0没有定义,则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0),间断点举例,函数,在点,x,=,0,没有定义,例2,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,间断点举例,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点,例3,函数,在,x,=,1,没有定义,间断点举例,所以x=1是函数f(x)的间断点,如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点,例4,间断点举例,因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点,例5,间断点举例,通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,间断点的类型,总结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数