函数幂级数展开式的应用

函数幂级数展开式的应用Tag内容描述：<p>1、一、近似计算,二、欧拉公式,11.5 函数的幂级数展开式的应用,2.9926.,一、近似计算,计算,的近似值,要求误差不超过,0,.,0001,.,例1,5,/,1,4,5,5,),3,1,1,(,3,3,243,240,-,=,-,=,解,如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,两式相减得,提示:,这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.,如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为,解,例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001.,已知,例3,解,在,sin,x,的幂级数展开式中令,得,其误差为,取前两项得,将。</p><p>2、一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,2.阿贝尔法(。</p><p>3、高等数学,重庆交通学院,（习题课上、下）,冯春,习题课（一）,习题课（二）,1、多元函数微分法及其应用,2、重积分,3、曲线积分 曲面积分,4、无穷级数,5、微分方程,综合练习题,详细讲解内容：,目 录,习题课（一）,一、 ， ， 是同一函数,的原函数吗？,习题 :,1求极限,解：,由夹逼定理,2已知函数 存在，求：,原式=,3.,求,设y = ln(1+x) , x=0.02 , 求dy的值,dy = dx = = 0.01,有理函数的分解：,（1）,将分母进行因式分解,Q(x) =,为质因式,（2）,分解成简单分式之和,简单分式：,个数：,分子次数恰好比分母次数少一次,四种类型简单分式：,例：,。</p><p>4、第五节 函数的幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、求数项级数的和 四、欧拉公式 五、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交。</p><p>5、2019/7/6,1,常用函数的幂级数展开式,2019/7/6,2,第五节 函数的幂级数展开式的应用,第十二章,一、近似计算,三、欧拉公式,二、微分方程的幂级数解法,2019/7/6,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/7/6,4,在上述展开式中取前四项,2019/7/6,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算定积分,2019/7/6,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/7/6,7,二、微分方程的幂级数解法,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法,其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0)的多项。</p><p>6、第五节,一、近似计算,三、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,第十二章,二、计算定积分,一、近似计算,定义1:,最后结果精确到(或保留到)小数点后 k 位.,说明:,定义2:,常用方法:,1. 若级数是交错级数，则,2. 若不是交错级数，则放大余项中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和.,两类问题:,1. 给定项数，求近似值并估计精度;,2. 给出精度，确定项数.,关健:,通过估计余项，确定精度或项数.,例1.,解:,故令 x = 1,有,若取前 8 项部分和, 即,则误差为,解:,则其误差,例2.,令 x = 1, 有,若取前 n + 1 项和, 即,如取 n = 10, 即,。</p><p>7、2019/7/6,1,常用函数的幂级数展开式,2019/7/6,2,第五节 函数的幂级数展开式的应用,第十二章,一、近似计算,三、欧拉公式,二、微分方程的幂级数解法,2019/7/6,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/7/6,4,在上述展开式中取前四项,2019/7/6,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算定积分,2019/7/6,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/7/6,7,二、微分方程的幂级数解法,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法,其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0)的多项。</p><p>8、115 函数的幂级数展开式的应用,一、近似计算,二、欧拉公式,复数项级数、,绝对收敛,复变量指数函数,欧拉公式、,复数的指数形式、,欧拉公式的其它形式,复变量指数函数的性质,一、近似计算,其误差(也叫做截断误差)为,其误差(也叫做截断误差)为,为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不 超过104，计算时应取五位小数，然后四舍五入因此最后得,二、欧拉公式,设有复数项级数 (u1 + iv1 )+ (u2 + iv2 )+ +(un + ivn )+ 其中un ，vn （n=1，2，3，）为实常数或实函数如果实部所 成的级数 u1 + u2 + + un + 收敛于和u，并且虚。</p><p>9、第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 四、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、欧拉公式,。</p><p>10、第六节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录 上。</p><p>11、一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近。</p>