降阶的高阶微分方程

降阶的高阶微分方程Tag内容描述：<p>1、4.3 高阶阶微分方程的降阶阶 和幂级幂级 数解法 一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: 1 不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是 若能求得(4.58)的通解 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 即 解题步骤: 第一步: 第二步:求以上方程的通解 即 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 解 令则方程化为 这是一阶方程,其通解为 即有 对上式积分4次, 得原方程的通解为 例1 2 不显含自变量t的方程, 一般形式: 因为 用数学归纳法易得: 将这些表达式代入(4.59)可得: 即有新方程 它比原方程降低。</p><p>2、5 可降阶的高阶微分方程,定义 称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程,方程 y (n) = f (x),1. y(n) = f (x)型的微分方程,右端仅含有自变量x，容易看出，只要令y (n1) = p 则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边 积分就得到一个n1阶的微分方程：,同理可得：,这样经过n次积分，即得到原方程的通解。,例1. 解方程,解: 连续积分两次，得：,例2. 解方程,解: 连续积分三次，得：,2. 不显含y型:,解法:,令 y=p, 则,则,设其通解为,p= (x, C1),则,故得,例3 解方程 y+ y=x2 的通解,解:,则,利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得通解为。</p><p>3、二）可降阶的高阶微分方程,要求会用降阶法解 （1） y(n)=f(x) 型方程 （2）y”=f(x,y) 型方程 (3) y”=f(y,y) 型方程,解法:,例1,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,1.可降阶的高阶微分方程,例1 求方程 xy”+y=1通解。 解： y=P(x)， xp+p=1 , -ln(1-p)=lnx+lnC1 = p=1- C1/x 通解： y =x-C1lnx+C2,例2,例3,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,例1,解,代入方程，得,故方程的通解为,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,(03二15） 微分方程 y”=24x 的通解为_________________,Y=x4+C1x2+C2x。</p><p>4、第七节 可降阶的高阶微分方程,一、引言,二、 型方程的求解,三、 型方程的求解,四、 型方程的求解,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、引言,二阶或二阶以上的微分方程，统称为高阶微,2.降阶，而且要求降阶后能求解。,求解方法。,1.根据高阶微分方程本身的特殊性，寻找直接的,两条思路：,程困难得多。,一般来说，求解高阶微分方程比一阶微分方,分方程。,n阶微分方程： ；,特殊类型： （只含x）,二阶微分方程： ；,特殊类型： （不显含 ）, （不显含 ）, （不显含 ）,（关于线性）,二、 型方程的求解,反复积分n次，直至求出未知函数 。</p><p>5、本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。,可降阶的高阶微分方程,前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，,以二阶方程,为例展开讨论,重点讨论能将二阶导数解出的情况,如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解,一、 型,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：,将,作为新的未知函数,降阶,令,有,变量可分离的一阶方程,。</p><p>6、本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。,可降阶的高阶微分方程,前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，,以二阶方程,为例展开讨论,重点讨论能将二阶导数解出的情况,如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解,一、 型,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：,将,作为新的未知函数,降阶,令,有,变量可分离的一阶方程,。</p><p>7、可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,四、其他可降阶的微分方程,几种可降阶的高阶常微分方程,二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。,通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。,“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。,一、 型的微分方程,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,解法：,特点：,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,对所给方程接连积。</p><p>8、可降阶高阶微分方程,8.3.1,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程。</p><p>9、9.3 高阶微分方程的降阶法,二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程,可降阶的方程-,通过初等变换降低阶数求解的方程,P.34例1,二. 不显含因变量的方程,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一般, 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,P.35例2,P.36例3,有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程.,解:设M为绳索上任一点,弧段OM上的受力如图所示,(悬链线),P.37例4,我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对。</p><p>10、可降阶的高阶微分方程,基本解法是： 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 2,解,代入原方程得,原方程通解为,例 4,小结：三类可降阶的高阶方程,解法：求n次积分即可。</p><p>11、本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。,可降阶的高阶微分方程,前面介绍了三种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，,以二阶方程,为例展开讨论,重点讨论能将二阶导数解出的情况,如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解,一、 型,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：逐次积分,即,再积分,对 n 阶方程,同理,积分得,如此连续积。</p><p>12、高等院校非数学类本科数学课程, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三讲 可降阶的高阶微分方程,脚本编写：彭亚新,教案制作：彭亚新,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。 熟练掌 握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐次 线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数。</p><p>13、可降阶高阶微分方程,第五节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型。</p><p>14、第五节,可降阶的高阶微分方程,一、y(n) = f (x) 型微分方程,解法：,其特点为：,通过积分降阶.,解,解,其特点为：,解法：,解,一阶线性非齐次微分方程,原方程化为,解线性方程, 得,两端积分, 得,所以原方程通解为,解,其特点为：,解法：,解,将方程改写成,两边积分得通解,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,解,另解,。</p><p>15、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十四讲 常微分方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正。</p><p>16、更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/,更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/,本课件可以在以下网址看到： 高等数学博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/ 2. 微积分精品课程网站：http:/219.221.200.61/2006/xiaoji/c134/Course/ 高等数学学习手册在以下书店购买： 四川大学 江安校区 商业街 红专书店。</p><p>17、第六节 可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结,一、 型的微分方程,解法,例1：,解：,两边积分可得：,再积分一次得：,这种方程的通解可经过积分 次而求得。,求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.,解,表示在时刻 时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为,由题设, 且力随时间的增大而均匀地减小; 所以,例2 质量为 的质点受力 的作用沿 轴作直线运动.设力 仅是时间 的函数: .在开始时刻 时 ,随着时间 的增大,此力 均匀地减小,直到 时, .如果开始时质点位于原点,且初速度为零,。</p><p>18、5.5 可降阶的高阶微分方程,一、 型,三、 型,二、 型,可得通解.,一、 型,特点：右边仅含自变量 。,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,二、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,三、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,五、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,一、 型,三、 型,二、 型,练 习 题,练习题答案。</p><p>19、代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,二、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,三、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,解法：,四、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 4,五、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,从而通解为,例 5,另解,原方程变。</p><p>20、1,四、小结及作业,2,第六节 可降阶的高阶微分方程,一.,令,则,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,3,例1. 求解,解:,( 这里 ),4,5,二.,型的微分方程,设,则,于是原方程化为一阶方程,设其通解为,则,再一次积分, 得原方程的通解,6,7,例4. 求解,解:,设,则,代入方程得,分离变量,积分得,即,利用,得,于是有,两端再积分得,利用,得,因此所求特解为,8,三.,型的微分方程,设,则,故方程化为,设它的通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,9,例5. 求解,代入方程得,即,两端积分得,即,再分离变量积分得,故。</p>