积分的概念和性质

积分的概念和性质Tag内容描述：<p>1、1.2 多元数量值函数积分的概念 第一节 多元数量值函数积分的概念和性质 定义1(多元数量值函数积分) 1.线性性质 2.对积分域的可加性 1.3 积分存在的条件和性质 4.中值定理 3.积分不等式 2.1 二重积分的几何意义 1.曲顶柱体的体积 第二节 二重积分的计算 体积 = 平顶柱体的体积计算 底面积高 类似曲边梯形面积的求法 曲顶柱体的体积计算 2.平面薄板的质量 x y o D 如何求非均匀薄板的质量呢? x y o D 9.1.2 二重积分的概念 积分和 被积表达式 积 分 区 域 被积函数 积分变量 面积元素 二重积分的几何意义 D D 性质 7 （二重积分中值定理） 。</p><p>2、第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第九章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则中任取一。</p><p>3、第一讲 二重积分的概念与性质 内容提要 二重积分的概念与性质 教学要求 1. 理解二重积分的意义与性质； 2. 掌握二重积分的概念与性质。 平顶柱体体积=底面积高 曲顶为平顶. 求曲顶柱体的体积 V =？ 曲顶柱体的体积 一、实例 曲顶柱体: 平面上的有界闭区域D为底，以 侧面是以D的边界曲线为准线,母 线平行 轴的柱面所围成的图形. 以连续曲面为顶 ， 以连续曲面为顶 ， 例如 曲顶柱体体积 V 求法如下 ： （1）分割: 分别以这些 小区域的边界曲 线为准线， D D (2)求每个小曲顶柱体的体积近似值： ,),(为高以 ii fhx (3)求近似和： （4）取极。</p><p>4、第九章 重积分 一元函数定积分是求与定义在某一区 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 作为推广，二元函数的二重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型，三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型，这些模型的数学结构 相同，都是和式的极限。 (Double and iterated integrals) Date1 第一节 二重积分的概念及性质 一、问题的提出 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 四、小结与思考判断题 （Conception and property of double integral) Date2 一 问题的提出 解。</p><p>5、知识准备 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有 如图 0 x y a bxi xi+1 i y = f (x) f ( i) 其中xi = xi+1 xi , 表 示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形 的面积. 有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面 为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们 称为曲顶柱体. 我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？ 0 y z x z = f (x,y) D 一、引例 (1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) 0 y 。</p><p>6、第9章 重 积 分 9.1 二重积分的概念与性质 2 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 小结 思考题 作业 double integral 9.1 二重积分的概念与性质 第9章 重 积 分 9.1 二重积分的概念与性质 柱体体积=底面积高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 9.1 二重积分的概念与性质 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底 ，并取小区域， 曲顶柱体的体积 分割 求和 取极限 取近似 9.1 二重积分的概念与性质 5 (1) 分割 相应地此曲顶 柱体分为n个小曲顶柱体. 。</p><p>7、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,【解法】类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,【步骤如下】,取近似、 求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,求。</p><p>8、1,6.7 二重积分的概念与性质,二重积分的概念 二重积分的性质,2,1. 曲顶柱体的体积,曲顶柱体:,6.7.1 二重积分的概念,3,曲顶柱体的体积,1）将区域D任意分割成 n 个小区域：,也表示第 i 块小区域的面积,2）任取点,3）作和,4）取极限,令,则,4,将区域D任意分割成 n 个小区域：,也表示第 i 块小区域的面积.,任取点,作,令,记作：,即,定义6.7.1,2.二重积分的定义,5,1) 几何意义:,表示曲顶柱体的体积.,2）可积条件：,说明,3）,与区域D的划分及点 的取法无关.,6,性质1,性质2,线性性质：,说明,线性性质可以推广至有限个函数的情形。,6.7.2 二重积分的。</p><p>9、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,重 积 分,在一元函数积分学中，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。,当人们把定积分解决问题的基本思想 “分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。,本。</p><p>10、2019年6月1日星期六,1,第八章 重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,2019年6月1日星期六,2,主 要 内 容,第一节 二重积分的概念与性质,第二节 二重积分的计算方法,2019年6月1日星期六,3,第一节 二重积分的概念与性质,第八章,（Conception and property of double integral）,一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,三、小结与思考练习,复习：一元定积分问题的实例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1)。</p><p>11、一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,推广,第一节 重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 三重积分的计算 第四节 重积分的应用,重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第十二章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以 D 的边界为准线 , 母线平行于 轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的。</p><p>12、重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、 问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第九章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的思想,“分划,近似,求和,取 极限”.,步骤如下：,1 分划,划分D为 n 个小区域:,以它们为底把曲顶柱体,分为 n 个小曲顶柱体,2 近似,3 求和,4 取极限,令,则有,定义,的直径。</p><p>13、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第九章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极。</p><p>14、柱体体积=底面积高,曲顶柱体的体积=？,曲顶柱体的体积,第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限,演示,计算曲顶柱体体积的步骤：,(2) 近似:,(1) 分割:,(3) 求和:,(4) 取极限:,(1) 分割;,(2) 近似;,计算平面薄片的质量,(3) 求和；,(4) 取极限:,求解步骤如下：,二、二重积分的概念,定义,曲顶柱体,平面薄板,积分区域,积分和式,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,相关术语：,二重积分号,解:,例1,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D.,故二重积分可写。</p><p>15、1,二重积分的概念与性质,2,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,3,求曲边梯形面积的步骤：,4,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,5,步骤如下：,6,求平面薄片的质量,7,二、二重积分的概念,8,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,9,说明：,二重积分的几何意义,10,11,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,12,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,13,性质,性质,。</p><p>16、第十三章 重积分,一、曲顶柱体的体积 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、二重积分的计算 五、二重积分的换元 六、曲面的面积,第一节 二重积分,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,一曲顶柱体的体积,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,把R任意分成n个小区域,其中 表示,第k个小区域，设其面积为,对应的小曲顶柱体体积为,2.取近似,在每个小区域 上任取一点 ,则,此分法记为 ,3. 求和,4. 取极限,设n个小区域的直径分别为,称 是曲顶柱体的体积,二、二重积分的概念,定义,设 是有界。</p>