积分的概念与

积分的概念与Tag内容描述：<p>1、例 定义1 ： 第一节 不定积分的概念及其性质 一、原函数和不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数 ） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若F (x)是 f (x)的一个原函数, 则对于任意常数 C ， （2）若 和 都是 的原函数， 则（ 为任意常数） 证 （ 为任意常数 ） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 若 是 在区间 I 内的一个原函数，则 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜。</p><p>2、1 2 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 3 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 4 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则（ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 5 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 6 例1 求 解 解 例2 求 7 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，。</p><p>3、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,3.1 不定积分,高等数学A,3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质 3.1.3 基本积分表,第3章 一元函数积分学,3.1 不定积分,3.1.3 基本积分表,3.1.1 原函数的概念,不定积分的概念与性质,3.1.2 不定积分的性质,求积分习例2-14,3.1.2 不定积分的概念,思考题-分段函数的不定积分,问题,原函数的定义,原函数的存在性,定义,不定积分的几何意义,1. 问题,一、原函数的概念,2. 原函数的定义,3. 原函数的存在性,定理1.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？,若函数f(x)。</p><p>4、第六章 多元数量值函数积分学,n元数量值函数：,n元向量值函数：,m唯向量,如,6.1 多元数量值函数积分的概念与性质,一、物体的质量,的非均匀细杆，通过分割、作乘积（近似）、求和、取,极限的四个步骤，,在一元函数的定积分中我们知道： 线密度为,即,其质量可表示为,1求非均匀平面薄片的质量,该小块质量近似为:,看作均匀薄片，,将 其近似,将薄片分割成n小块 ,(作乘积）,分割：,近似：,（i=1,2,n),面密度为：,D,求和：,（闭区域的直径：区域上任意两点间距离的最大者）,（薄片总质量）,取极限：,2.非均匀空间立体的质量,设有一空间物体分布在。</p><p>5、一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,推广,第一节 重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 三重积分的计算 第四节 重积分的应用,重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第十二章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以 D 的边界为准线 , 母线平行于 轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的。</p><p>6、重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、 问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第九章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的思想,“分划,近似,求和,取 极限”.,步骤如下：,1 分划,划分D为 n 个小区域:,以它们为底把曲顶柱体,分为 n 个小曲顶柱体,2 近似,3 求和,4 取极限,令,则有,定义,的直径。</p><p>7、柱体体积=底面积高,曲顶柱体的体积=？,曲顶柱体的体积,第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限,演示,计算曲顶柱体体积的步骤：,(2) 近似:,(1) 分割:,(3) 求和:,(4) 取极限:,(1) 分割;,(2) 近似;,计算平面薄片的质量,(3) 求和；,(4) 取极限:,求解步骤如下：,二、二重积分的概念,定义,曲顶柱体,平面薄板,积分区域,积分和式,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,相关术语：,二重积分号,解:,例1,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D.,故二重积分可写。</p><p>8、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,性质,对区域,具有可加性,性质,为D的面积，,性质,若在D上,则有,性质,（二重积分,估值不等式）,性质,（二重积分,中值定理）,解,解,解,解: 表示。</p><p>9、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,【解法】类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,【步骤如下】,取近似、 求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,求。</p><p>10、一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,第十章 重 积 分,第一节 二重积分的概念与性质,一、二重积分的概念,例 1 曲顶柱体的体积.,设有一立体的底是 xy 面 上的有界闭区域 D，,侧面是以 D 的边界曲线为准线、,母线平行于 z 轴的柱面，,顶是由二元非负连续函数 z = f (x, y) 所表示的曲面. 这个立体称为 D 上的曲顶柱体.,试求该曲顶柱体的体积 .,1. 引例,D,称为子域：1, 2 , , n ,并以 i (i = 1, 2, , n)表示第 i 个子域的面积，,(1) 分割.,将区域 D 任意分成 n 个小区域，,然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、,母线平行 z 轴的柱面.,。</p><p>11、第一节 二重积分的概念和性质,一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结 练习题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,1、引例：曲顶柱体的体积,一、二重积分的基本概念,曲顶柱体,（1）底是 x o y 面上的有界闭区域；,（2） 侧面是以 D 的边界 曲线为准线而母线平行 于 z 轴的柱面；,（3）顶是曲面 z = f ( x , y ) ，,计算曲顶柱体体积的一般方法：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：,将曲顶柱体分成 n 个小曲顶。</p><p>12、高等数学,由银俊成制作,第八章 重积分,1.1 二重积分的概念,1.2 二重积分的性质,第一节 二重积分的概念与性质,1.1 二重积分的概念,引例曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体,播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示：,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4. 取极限,引例2求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块；,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片；,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二重积分的概念,积。</p><p>13、平顶柱体体积=底面积高,曲顶柱体体积= ？,曲顶柱体的体积,第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D.,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面.,求其体积.,“划分, 近似, 求和, 逼近(取极限)”,步骤如下：,将 D 任意划分为 n 个小闭区域,在每个,中任取一点,则第 i 小块的体积,总体积,取极限,得,求平面薄片的质量,在每个,中任取一点,则第 i 小块的质量,步骤：,将 D 任意划分为 n 个小闭区域,D,取极限,得,两个问题的共性：,(1) 解决问。</p><p>14、第十三章 重积分,一、曲顶柱体的体积 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、二重积分的计算 五、二重积分的换元 六、曲面的面积,第一节 二重积分,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,一曲顶柱体的体积,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,把R任意分成n个小区域,其中 表示,第k个小区域，设其面积为,对应的小曲顶柱体体积为,2.取近似,在每个小区域 上任取一点 ,则,此分法记为 ,3. 求和,4. 取极限,设n个小区域的直径分别为,称 是曲顶柱体的体积,二、二重积分的概念,定义,设 是有界。</p><p>15、第一节 重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结,一、问题的提出,曲顶柱体的体积,曲顶柱体：,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二。</p><p>16、二重积分的概念及几何意义,一、问题的提出,二、二重积分的定义,三、二重积分的几何意义,一、问题的提出,曲顶柱体的体积,定义,体积=,曲边梯形面积的求法,“分割、近似、求和、取极限”的思想方法,平顶柱体的体积计算,底面积高,曲顶柱体的体积计算,以直线代曲线,以平面代曲面,步骤如下：,并取典型小区域,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 .,曲顶柱体的体积,.求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函。</p><p>17、三重积分的概念及其计算法,第四节,复习 二重积分的概念,设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域D上有界，,将 D 任意分成 n 个无公共内点的小区域,每个小区域的面积记作,在每个小区域上任意取一点,作和式,如果上述和式的极限存在，,点Pi 的取法无关，,并且与区域 D 的分法及,则称此极限值为函数 f (x,y) 在,区域 D 上的二重积分，,记作,此时也称函数 f(x, y) 在区域 D 上是可积的,即,一、三重积分的概念,1. 定义,设函数 f (x,y,z)在空间有界闭区域上有界，,将 任意 分成 n个无公共内点的小区域,每个小区域的体积记作,在每个小区域上任意 取一点,。</p>