积分的计算方法

积分的计算方法Tag内容描述：<p>1、第二节 二重积分的计算法-2 二、利用极坐标计算二重积分 极坐标下的二重积分化为二次积分的方法: 1.区域如图: 2.区域如图: 极坐标系下区域的面积 A = 3.区域如图: 解 例1 x y o 解 例2 解 练习1 解 练习2 解 例3 例4 设积分区域 D 关于 x 轴对称,D1 是 D 中对应于y 0 的部分，证明： 证明 积分区域如图： 例4 设积分区域 D 关于 x 轴对称,D1 是 D 中对应于y 0 的部分，证明： 证明 积分区域如图： 证明 积分区域如图： 例4 设积分区域 D 关于 x 轴对称,D1 是 D 中对 应于y 0 的部分，证明： 证明 积分区域如图： 例5 设积分区域 D 关于 y 。</p><p>2、返回上页页下页页目录录 第二节 二重积分的计算方 法 第八章 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习 Date1 返回上页页下页页目录录 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 复习: 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算. Date2 返回上页页下页页目录录 牛顿 莱布尼兹公式 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证: 根据定理 2,故 因此 得 记作。</p><p>3、摘要本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序，通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较，从而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时Gauss-Legendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，。</p><p>4、如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于 下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据。</p><p>5、第二节 二重积分的计算法,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.,应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,得,为曲顶的柱体的体积,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.,若区域既不是X型区域又不是Y型区域（如图），,在分割后的三个区域上分别 使用积分公式,则必须对图形作分割.,具体计算的步骤：,1。按题意画出积分区域的草图；,2。判定积分。</p><p>6、如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于 下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据。</p><p>7、如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于 下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据。</p><p>8、当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv,则,三重积分,1. 直角坐标系下三重积分的计算,直角坐标系下，记体积元素,dv=dxdydz,则,三重积分,(1) 化成一个定积分和一个二重积分,设 D 为 在 xy 平面上投影区域.,y=y1(x),b,a,y=y2(x),例1. 计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解： D: 0 y 1x, 0 x 1,例2. 计算,其中 是由抛物,柱面,及平面y=0, z=0,解： D: 0 y , 0 x ,y=y1(x, z),z,0,y=y2(x, z),Dxz,y,x,x=x2(y, z),z,0,x=x1(y, z),Dyz,y,x,例3. 将,化为三次定积分，其中, 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.,解：先对 z 积分，将 向 xy 。</p><p>9、一 利用直角坐标计算二重积分,7.2 二重积分的计算法(一),二 小结 思考题,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1. 【预备知识】,(2)Y型域,【Y型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(3)既非X型域也非Y型域如图,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,(1).若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式】,即得,公式1,【几点小结】,a,b,x,3.【二重积。</p><p>10、1,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,2,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,3,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,4,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,5,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1。</p><p>11、如果积分区域为:,X型,第二节 二重积分的计算法-1,一、利用直角坐标计算二重积分,*应用“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,曲顶柱体的体积的计算方法：,二次积分公式,?,如果积分区域为：,Y型,二次积分公式,若区域如图：,*计算方法是：先分割,然后分别计算:,混合型,解,例1,解,例2,解,积分区域为：,例3,如右图;,解,例4,解,例5,解,积分区域如图：,练习1,解,原式=,例2,二重积分在直角坐标下的计算公式:,（在积分过程中要正确选择积分次序）,Y型,X型,小结与教学基本要求,掌握：,混合型,练习题,练习题解答:,解:,解:,思考题,思考题解答:,。</p><p>12、如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于 下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据。</p><p>13、第二节 二重积分的计算法,一 利用直角坐标计算二重积分,利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。,面积元素,积分区域,X-型区域,Y-型区域,设D（X型）：,利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:,若D为（Y型）：,求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算,若D（X型）：,若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域， 使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。,例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2, 及y=x所围区域。,解法 1 把D看成X型域，则,解法 2 把D看成Y型域，则,例2 计算 ，其中D是。</p>