极限存在且为1

极限存在且为1Tag内容描述：<p>1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、一、 极限存在准则极限存在准则 第六节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 例例1.1.求 解解: 利用夹逼准则 . nnnn n 222 1 2 11 2 2 n n 且 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n 1 n n lim。</p><p>2、二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当。</p><p>3、2 2 数列极限数列极限 2 2 收敛数列的性质收敛数列的性质 2 1数列极限的定义数列极限的定义 2 3 极限存在准则极限存在准则 1 32 2 3 数列极限存在的准则数列极限存在的准则 单调有界准则单调有界准则 夹逼准则夹逼。</p><p>4、第六节 极限存在准则与两个重要极限,一 极限存在的两个准则,二 两个重要极限,三 小结与思考判断题,1.夹逼准则(两边夹定理）,证,一 极限存在准则,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼准则得,2.单调有界准则,几何解释:,证,(舍去),二、两个重要极限,1、,例3 （1）,解,（2）,2、,定义,类似地,注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。,例4,解,例5,解,2.两个重要极限,三、小结与判断思考题,小结,思考题,求极限,思考题。</p><p>5、1 lijuan 二 二 二 二 两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限 一 函数极限与数列极限的关系一 函数极限与数列极限的关系一 函数极限与数列极限的关系一 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则。</p><p>6、第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 思考题 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则I: 注意: 准则 和准则 称为夹逼准则. 准则 I: 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释 : 准则 单调有界数列必有极限. 二、两个重要极限 (1 ) 证 例3 解 (2 ) 定义 例4 解 解2 例5 解1 三、小结 1.两个准则 2.两个重要极限 夹逼准则; 单调有界准则 . 思考题 求极限 思考题解答 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案。</p><p>7、二、两个重要极限,一、极限存在准则,第六节,机动目录上页下页返回结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、极限存在准则,夹挤定理单调有界原理,机动目录上页下页返回结束,1.夹挤定理(定理1)(P46),证:,由条件。</p><p>8、江西理工大学理学院江西理工大学理学院 第第 4 节 极限存在准则 两个重要极限 节 极限存在准则 两个重要极限 江西理工大学理学院江西理工大学理学院 一 极限存在准则 1 夹逼准则夹逼准则 准则 如果数列准则 如果数列。</p><p>9、福州大学数计学院1 复习 时当 福州大学数计学院2 说明 福州大学数计学院3 v v v 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 福州大学数计学院4 注意：极限四则运算的条件！ v 福州大学数计学院5 v “代入法” 对幂指函数 有如下结论：v (A0且A1, B为常数) 但如 若 福州大学数计学院6 解 练习: 福州大学数计学院7 第六节 极限存在准则 与两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 第一章 福州大学数计学院8 一、极限存在准则 1.夹逼准则 证明 福州大学数计学院10 当nN 时上两式同时成立,。</p><p>10、目录 上页 下页 返回 结束 二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. 有定义, 为确定起见 , 仅讨论的情形. 有 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 有定义,且 设即当 有 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当时 故 可用反证法证明. (略) 有 证： 当 “ ” “ ” 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不。</p><p>11、1/48 高等数学（上）高等数学（上） 2/48 高等数学（上）高等数学（上） 一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、极限的计算方法 第五节 极限运算法则 3/48 高等数学（上）高等数学（上） 定理1 注意 使用运算法则前提,参与运算的极限都存在. 4/48 高等数学（上）高等数学（上） 推论 5/48 高等数学（上）高等数学（上） 定理2 说明 若定理中则类似可得 6/48 高等数学（上）高等数学（上） 1.直接利用极限运算法则 7/48 高等数学（上）高等数学（上） 小结 代入法 例如 8/48 高等数学（上）高等数学（上） 2.无穷小与有界。</p><p>12、第六节 极限存在准则与两个重要极限,一 极限存在的两个准则,二 两个重要极限,三 小结与思考判断题,1.夹逼准则(两边夹定理）,证,一 极限存在准则,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼准则得,2.单调有界准则,证,二、两个重要极限,1、,例3 （1）,解,（2）,2、,定义,类似地,注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。,例4,解,例5,解,2.两个重要极限,三、小结与判断思考题,小结,思考题,求极限,思考题解答。</p><p>13、二、两个重要极限,一、夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,1.夹逼准则(准则1),证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,2.函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,注,注,当,时,例2.求,解:,例3.求,解。</p><p>14、5. 极限运算法则,一、无穷小的运算法则,定理 1.,有限个无穷小的和也是无穷小。,（证略）,说明：,(1) 和 指 代数和。,(2) 无限个无穷小的和不一定是无穷小。,定理 2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,推理1.,常数与无穷小的乘积为无穷小。,推理2.,有限个无穷小的乘积也是无穷小。,例：,？, “ 不定型 ”,一般：,二、 极限的四则运算法则,(P. 43 45 定理3，推论1，2),若 lim f (x) = A , lim g (x) = B 存在，,则 (1) lim f (x) g (x) ,= lim f (x) lim g (x) = A + B.,(2) lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = AB,C:常数,对数列 xn 。</p><p>15、1-7极限存在准则,2,一、极限存在准则 (Criteria of existence of limits),1.夹逼准则(squeezing principle),证,$1-7极限存在准则,3,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,$1-7极限存在准则,4,注意:,准则 和准则 I称为夹逼准则.,$1-7极限存在准则,5,例1,解,由夹逼定理得,(P93总习题一,13),$1-7极限存在准则,6,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,$1-7极限存在准则,7,例2(与P71习题1-7，4，（2）类似）,证,(舍去),$1-7极限存在准则,8,二、两个重要极限,(1),(Two important limits),$1-7极限存在准则,9,$1-7极限存。</p><p>16、二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋。</p><p>17、第六节 极限存在准则与两个重要极限,一 极限存在的两个准则,二 两个重要极限,准则I.数列的夹逼准则,一 极限存在准则,如果数列xn、yn及zn满足下列条件,则,上两式同时成立,证,准则I.函数的夹逼准则,则,准则 和准则 称为夹逼准则.,利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限。,方法是：,使得,将 适当缩小为 ，再适当放大为 ，,（极限要容易求得）,则,常见形式：,例。</p>