绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛Tag内容描述：<p>1、一、一、 交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的 一般形式为 或 其中，un0 (n=1, 2, ) 定理定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 满足条件 (1) (2) unun+1 (n=1, 2, ) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1. (级数收敛的必要条件) 证证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由极限存在准则： 2) 取交错级数的前2m+1项之和 由条件1): 综上所述，有 例1. 讨论级数的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 由莱布尼兹判别法，该级数是收敛. 例2. 。</p><p>2、第三节 绝对收敛与条件收敛 一.交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数收敛 , 且其和 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 。</p><p>3、9.5 绝对收敛级数和条件收敛 级数的性质 定理1 对于级数 ,将它的所有正项保留而将 负项换为0,组成一个级数记为 .将它的所以负项 变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级 数记为 亦即 那么 (i)若级数 绝对收敛,则级数 和级数 都收敛; (ii)若级数 条件收敛,则级数 和级数 都发散 证明 (i)若级数 绝对收敛,由于 按比较判别法,级数 和级数 都收敛. (ii)若 为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. 假设级数 和级数 中至少有一个是收敛的,不妨 假设 为收敛级数,那么,由于 于是得知 亦必为收敛.又由于 ,所以 得知级数 绝对收敛,此与已。</p><p>4、1,第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,定理(莱布尼茨定理),如果交错级数满足条件,2,证,另一方面,3,定理(莱布尼茨定理),如果交错级数满足条件,注意：莱布尼兹定理所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.,4,例1,解,这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错 p级数.,所以级数收敛。,5,解,所以级数收敛.,例2,6,收敛,收敛,用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,7,定义：正项和负项任意出现的级。</p><p>5、第二节 正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,基本定理:,2.正项级数收敛的充要条件:,显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列,正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,解,证明,比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。,4.比较审敛法。</p><p>6、收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,收敛,正项级数,交错级数,任意项级数,比值 根值,其他,做题思路:,例13. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,。</p><p>7、第三节第三节 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 1 交错级数审敛法 交错级数的概念 莱布尼茨定理 2 绝对收敛与条件收敛 绝对审敛原理 绝对收敛概念 条件收敛概念 一 交错级数及其审敛法一 交错级数及其审敛法 设。</p><p>8、1,第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数满足条件,称莱布尼茨型级数,2,证,另一方面,3,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数满足条件,注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.,4,例1,解,这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错 p级数.,所以级数。</p>