连续函数运算

连续函数运算Tag内容描述：<p>1、8. 连续函数的运算法则和初等函数的连续性 1. 连续函数的四则运算法则 2. 连续函数的复合运算法则 3. 单调连续函数的反函数连续性 定理：单调连续函数的反函数必定存在，且该反函数亦是连续的。 4. 基本初等函数的连续性 (1) 常数函数 y = c 在它的任何定义区间上是连续的。 (2) 三角函数 y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = ctgx , y = sec x , y = csc x 在它们的任何定义区间上是连续的。 (3) 反三角函数 y = arcsinx , y = arccosx , y = arc tgx , y = arcctgx 在它们的任何定义区间上是连续的。 (4) 指数函数 y = a x ( a 0 , a 1。</p><p>2、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如,在上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在1, 1上也连续单调 (递减) 递增. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 连续函数的复合函数。</p><p>3、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在。</p><p>4、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3.设函数,而,为复合函数,则,例如. 求,解:,看作,与,复合而成，,因为,而函数,在,连续，,所以,定理4. 。</p><p>5、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与连续函数的运算,第一章,三、 连续函数的运算,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,连续函数是微积分研究的主要对象。,连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。,有关连续的相关概念,自变量的改变量（增量）,函数的改变量 （增量）,说明: 1）函数,在点,一、 函数连续性（ Continuous ）的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有。</p><p>6、更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/,本课件可以在以下网址看到： 高等数学博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/ 2. 微积分精品课程网站：http:/219.221.200.61/2006/xiaoji/c134/Course/ 高等数学学习手册在以下书店购买： 四川大学 江安校区 商业街 红专书店,更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com。</p><p>7、1,1.9 连续函数的运算与 初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,4,此定理对计算某些极限是很方便的.,定理3,设函数,是由函数,与函数,。</p><p>8、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>9、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>10、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,单调 递增,定理3,证：,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以。</p><p>11、复习,1. 无穷小的比较, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且,常用等价无穷小 :,当 时,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,2. 等价无穷小替换定理,连续函数的等价定义,3. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点,第二类间断点:,间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点.,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,9. 连续函数的运算与初等函数的连续性,学习重点和难点： 利用初等函数的连续性求极限 几个等价无穷小。</p><p>12、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,单调 递增,例如,是由连续。</p><p>13、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在。</p><p>14、第八节 函数的连续性与 连续函数的运算,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、连续函数的运算,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续(continuous)的定义,定义1 设函数 在 内有定义，如 果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函 数的增量 也趋向于零，即 或 ,那末就称函数 在点 连续， 称为 的连续点.,定义2 设函数 在 内有定义,如果 函数 当 时的极限存在,且等于它在 点 处的函数值 ,即 那末就称函数 在点 连续.,定义3,设函数 在 内有定义,称函数 在点 连续.,例1,证,由定义2可推得：,3.单侧连续,定理,例1,解,4. 连续函数(continuous func。</p><p>15、第八节,一、最值定理与有界性,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第二章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论(有界性定理).,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,说明：定理1的条。</p><p>16、2.3 函数的连续性,考察下列图形,定义,2.3.1 函数连续的概念,增量语言描述:,注:,定义,定理,定义,（连续的充要条件）,解：,例1.,解:,例2.,例3.,例.,A.四则运算法则,2.3.2 连续函数的运算,定理,例 .,例 .,证明：,结论：任何多项式及有理函数在其定义域内都是 连续函数。,推论1,推论2,定理,B.复合函数的连续性,证明：,意义,1.极限符号lim可以与函数符号f互换;,例,解,定理,即： 两个连续函数构成的复合函数在定义区间内 也是连续函数。,例.,C. 反函数的连续性,定理,例如,结论：反三角函数在其定义域内皆连续.,2.3.3 初等函数的连续性,*利用函数。</p><p>17、一 连续函数的运算法则 第九节 二 初等函数的连续性 机动目录上页下页返回结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 定理2 连续单调递增函数的反函数 在其定义域内连续 一 连续函数的运算法则 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递减 证明略 在 1 1。</p><p>18、1,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,2,函数 f(x) 在点x0 连续,上一节结论：,在 内都是连续函数 。,初等函数连续性？,由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和,有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示,的函数,称为初等函数.,3,初等函数,常数 基本初等函数,四则运算 复合运算,研究初等函数连续性需： (1)基本初等函数连续性 (2) 连续函数四则运算 (3) 连续函数复合。</p>