平面的法向量

平面的法向量Tag内容描述：<p>1、第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避。</p><p>2、研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用. 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 一、直线的方向向量 A B 直线l上的向量 以及与 共线 的向量叫做直线l的方向向量。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 二、平面的法向量 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ， 如果 ，那 么 向 量 叫。</p><p>3、平面的法向量与平面的向量表示2【学习目标】：掌握正射影的概念；掌握三垂线定理及逆定理并能用定理解题。【自主学习】阅读课本104页至105页，完成下列问题。1、已知平面和一点，过作的垂线，则就是点在平面的 ，简称 。2、如果一条直线 斜线和平面的交点叫做 ，斜线上一点与斜足之间的线段叫做 。3、如果在 内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，则它也和这条 垂直，反之，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。【自我检测】1、给出下列命题：若是平面的斜线，直线垂直于在内的射影，则若是平面的斜线，。</p><p>4、平面的法向量与平面的向量表示1【学习目标】：理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；能用法证明空间中的垂直关系。【自主学习】： 阅读课本102页至103页，完成下列问题。1、已知平面，如果一个向量的基线与平面 ，则向量叫做平面的法向量或者说向量与平面正交。2、设A是空间任一点，为空间任一非零向量，则适合条件=0的点构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的 ，称作一个平面的向量表示式。3、设，分别是平面的法向量。平面平面或与重合 平面平面 【自我检测】1、已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且=0，则与的关系。</p><p>5、课时分层作业(十九)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则x________，y________.解析由l1l2，得，解得x12，y9.答案1292设直线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m________.解析l1l2，212m0，m.答案3设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则l与的位置关系是________解析由题意知，因为ab0，所以ab，所以l在平面内或l与平面平行答案l在平面内或l与平面平行4设A是空间任意一点，n为空间任一非零向。</p><p>6、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量学习目标：1.理解直线的方向向量和平面的法向量(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量(难点)3.平面法向量的设法(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理1直线的方向向量阅读教材P99上半部分，完成下列问题我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x________.解析(1,0,1)，由题意知，a，则存在实数，使a，即(2,0，x)(1,0,1)，即2，x2.答案2教材整理2平面的法向量阅读教材P99中间部分，完成下列问题如果表示非。</p><p>7、第三章 3.2 空间向量在立体几何中的应用,3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示,学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面的法向量,思考,平面的法向量有何作用？是否唯一？,平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系. 平面的法向量不唯一，它们都是共线的.,答案,梳理 平面的法向量 已知平面，如果。</p><p>8、平面的法向量与平面的向量表示课题平面的法向量与平面的向量表示课时第1课时课型新授课教学重点会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.依据：教参，教材，课程标准，高考大纲教学难点会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.依据：教参，教材，自主学习目标1.通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质2.学生牢记平面的法向量的概念、三垂线定理及其逆定理，会求平面的法向量.3.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.4.学生会。</p><p>9、3.2.1 直线的方向向量 与平面的法向量,研究,从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.,为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？,一、直线的方向向量,直线l上的向量 以及与 共线的向量叫做直线l的方向向量。,由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。,二、平面的法向量,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记。</p><p>10、34-3.5直线与平面的垂直关系 平面的法向量读教材填要点1射影(1)过空间任意一点P作平面的垂线与相交于点P0，则P0称为点P在平面内的射影(2)预先给定平面，空间任何一个图形的每一个点P在平面上都有一个射影P0，所有这些P0在平面上组成一个图形，称为这个空间图形在平面上的射影2三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直3平面的法向量与平。</p><p>11、平面的法向量及其应用,复习 法向量 法向量的应用,学习重点、难点： 1.重点：平面法向量的求法及其应用 2.难点：建系找点，求平面的法向量,学习目标： 1.知识与技能：理解法向量的定义，会求平面的法向量 2.过程与方法：通过建系，用向量方法，渗透数形结合， 转化等数学思想,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。,一、引入两个重要空。</p><p>12、作业订正,注意,F,法2：建系,（法1）共面向量定理,（法2）法向量,两法,法3,M,空间垂直与线线角,方法小结,由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取x=4较合理。其实平面的法向量不是惟一的。,练习巩固,平面的法向量不惟一，合理取值即可。,课本105页练习,A.,A.1,2,B.1,垂直关系：,垂直关系：,垂直关系：,如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.,垂直关系：,判定定理,用向量证一证！,练习：用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,已知：。</p><p>13、一、复习引入,1.直线与平面垂直的定义、判定和性质,定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。,判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。,性质： (1)垂直于同一个平面的两条直线平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。,二、提出问题,1.如何用向量来表示空间直线与平面的垂直？,2.直线的向量表示为 平面怎样用向量来表达呢？,三、概念形成,概念1.平面的法向量,已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交。,由。</p><p>14、3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示,高中数学选修21,提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：,图示：,平面的向量方程,1.直线与平面垂直的定义,2. 平面的法向量：,如果向量 的基线与平面 垂直，则向量 叫平面 的法向量。,几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 与平面平行或在平面内，则有,A,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,3. 平面的向量表示：,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的。</p><p>15、数学专题二,高三数学第一轮复习,平面法向量的求法,丰,南,一,中,欢,迎,您,丰,南,一,中,欢,迎,您,练习：已知平面的两个向量为a=(1,3,4),b=(2,5,9), 求此平面的一个法向量.,解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有,(1)方程法,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例2、,(2)含0速算法,【探究】,1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点 E,F分别在线段AB,AD上， 沿直线EF将。</p><p>16、平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？,如何表示空间直线的方向？,3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量,对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d叫做直线的一个方向向量。,方向向量,空间直线的方向向量是唯一的吗？,一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？,例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 中，F为棱上的中点， （1）向量 可以分别表示哪条空间直线的方向向量？ （2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向。,例题2：已知长方体 的棱长 ，。</p><p>17、3.2 立体几何中的向量方法,第一课时 直线的方向向量与平面的法向量,如何确定空间内任意一条直线的位置？, 一定点和方向向量,如何确定空间内任意一个平面的位置？, 一点和两不共线向量,思考： 给一个定点和一个向量能确定一个 平面在空间中的位置吗？,1、平面的法向量：,注（1）一个平面的法向量可以有无数个, 它们是共线向量；,所在的直线与平面垂直的向量。,二、直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、 平面位置关系中的应用,四、例题讲解,四、例题讲解,四、例题讲解,四、例题讲解,解析：,平面的法向量的求法,若要求出一个平面的法向。</p>