实变函数与泛函分析基础

实变函数与泛函分析基础Tag内容描述：<p>1、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>2、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>3、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 得 分二。</p><p>4、1. 设X赋范线性空间, 12 , k x xxL是X中k个线性无关向量, 12 , k L是一组数, 证明:在X上存在满足下列条件:(1)( ),1,2, ii f xik=L;(2)fM的线性连续泛函 f的充要条件为:对任何数 12 , , k t ttL, 11 kk iiii ii tMt x = . 证证 必要性 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则 () 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x = = . 充分性 若对任意数 12 , , k t ttL,有 11 kk iiii ii tMt x = ,则令 012 , k Xspan x xx=L,对任意的, 0 1 k ii i t xX = ,定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i=1i=1 :tt ii ffx = .因 kkk 0iii i=1i=1i=1 ttt iii fxMx = ,故。</p><p>5、第十一章 线性算子的谱 1 设0,1, ()( )( ),XCAx ttx txX=。证明( )0,1A=，且其中没有特征值。 证明证明 当0,1时，常值函数 1 不在IA 的值域中，因此IA 不是满射，这样 ( )A。 反之若0,1，定义算子 1 :( )RRx t t = 。则由于0,1，且 11 max( ) ( ,0,1) a t b R xx tx td = 因此R是 C0，1中有界线性算子。 易验证()()RIAIA RI =，所以( )A。 总之( )0,1A=， 若Aff=，则对任意t，( )( )tf tf t=，可推得( )0f t =。由于( )0,1f tC， 必有( )0f t ，所以 A 无特征值。证毕。 2 设0,2 ,()( )( ),. it XCAx te x txX=，证明 ( )1A =。 证明证明 。</p><p>6、第七章习题解答1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有 ，令 有。所以（因为闭集）。这就是说， 综上所证有：。4。</p><p>7、Chapter 3,实变函数、泛函分析和拓扑学 基础以及分形空间,3.1 实变函数、泛函分析和拓扑学基础,在分形几何里，我们关注的是多种多样简单几何空间子集的结构，记这种空间为 ，我们研究和讨论的分形就在这 。 Definition 3.1 空间 是一个集合，空间中的点是该集合的元素。 例3.1 ，每个 “点 ”是实数或直线 轴上的点。 例3.2 ，Euclid平面，一对实数 ， 确定了 中的一个点， 常被写成 。,例3.3 ，取自变量在闭区间 到 的连续函数集，一个“点” 就是函数 ， 也能由图像表示。 例3.4 ，Riemann球， ，其中 为复平面， 的元素为复数。 例3.5 。</p><p>8、试卷一 得 分 一 单项选择题 3分5 15分 1 1 下列各式正确的是 A B C D 2 设P为Cantor集 则下列各式不成立的是 A c B C D 3 下列说法不正确的是 A 凡外侧度为零的集合都可测 B 可测集的任何子集都可测 C 开集和闭集都。</p><p>9、1 设X赋范线性空间 12 k x xxL是X中k个线性无关向量 12 k L是一组数 证明 在X上存在满足下列条件 1 1 2 ii f xik L 2 fM 的线性连续泛函 f的充要条件为 对任何数 12 k t ttL 11 kk iiii ii tMt x 证证 必要性 若线。</p><p>10、第九章第九章 内积空间和希尔伯特空间内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例 1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 n e 证明 若X是可分的 设 n x是X的一个可数稠密子集 不妨设 n x是线性无关。</p><p>11、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>12、第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延。</p>