实变函数与泛函分析基础程其襄第四版

实变函数与泛函分析基础程其襄第四版Tag内容描述：<p>1、1 A B C A B A C x A B C x A x A B x A C x A B A C x B C x A B x A C x A B A C A B C A B A C x A B A C x A x A B C x 6 A x A B x A C x B x C x B C x A B C A B A C A B C A B C A B A C 2 1 A B A A B A B。</p><p>2、第十一章 线性算子的谱 1 设0,1, ()( )( ),XCAx ttx txX=。证明( )0,1A=，且其中没有特征值。 证明证明 当0,1时，常值函数 1 不在IA 的值域中，因此IA 不是满射，这样 ( )A。 反之若0,1，定义算子 1 :( )RRx t t = 。则由于0,1，且 11 max( ) ( ,0,1) a t b R xx tx td = 因此R是 C0，1中有界线性算子。 易验证()()RIAIA RI =，所以( )A。 总之( )0,1A=， 若Aff=，则对任意t，( )( )tf tf t=，可推得( )0f t =。由于( )0,1f tC， 必有( )0f t ，所以 A 无特征值。证毕。 2 设0,2 ,()( )( ),. it XCAx te x txX=，证明 ( )1A =。 证明证明 。</p><p>3、第九章第九章 内积空间和希尔伯特空间内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例 1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 n e 证明 若X是可分的 设 n x是X的一个可数稠密子集 不妨设 n x是线性无关。</p><p>4、1. 设X赋范线性空间, 12 , k x xxL是X中k个线性无关向量, 12 , k L是一组数, 证明:在X上存在满足下列条件:(1)( ),1,2, ii f xik=L;(2)fM的线性连续泛函 f的充要条件为:对任何数 12 , , k t ttL, 11 kk iiii ii tMt x = . 证证 必要性 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则 () 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x = = . 充分性 若对任意数 12 , , k t ttL,有 11 kk iiii ii tMt x = ,则令 012 , k Xspan x xx=L,对任意的, 0 1 k ii i t xX = ,定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i=1i=1 :tt ii ffx = .因 kkk 0iii i=1i=1i=1 ttt iii fxMx = ,故。</p><p>5、第十一章 线性算子的谱 1 设 证明 且其中没有特征值 证明 当时 常值函数1不在的值域中 因此不是满射 这样 反之若 定义算子 则由于 且 因此是C 0 1 中有界线性算子 易验证 所以 总之 若 则对任意 可推得 由于 必有 所。</p><p>6、1 设X赋范线性空间 12 k x xxL是X中k个线性无关向量 12 k L是一组数 证明 在X上存在满足下列条件 1 1 2 ii f xik L 2 fM 的线性连续泛函 f的充要条件为 对任何数 12 k t ttL 11 kk iiii ii tMt x 证证 必要性 若线。</p><p>7、第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延。</p><p>8、 1.?A (B C) = (A B) (A C). ?x (A(B C).?x A,?x AB,x AC,?x (AB)(AC). ?x B C,?x A B?x A C,?x (A B) (A C),? A (B C) (A B) (A C). 。</p><p>9、第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延。</p>