实变函数与泛函分析基础第三版程其襄

实变函数与泛函分析基础第三版程其襄Tag内容描述：<p>1、1 A B C A B A C x A B C x A x A B x A C x A B A C x B C x A B x A C x A B A C A B C A B A C x A B A C x A x A B C x 6 A x A B x A C x B x C x B C x A B C A B A C A B C A B C A B A C 2 1 A B A A B A B。</p><p>2、主要内容 本章讨论的点集理论 不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础 也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型 学习本章时应注意以下几点 1 本章的基本概念较多 且有些概念 如内点 聚点 边界点等 相互联系 形。</p><p>3、 1.?A (B C) = (A B) (A C). ?x (A(B C).?x A,?x AB,x AC,?x (AB)(AC). ?x B C,?x A B?x A C,?x (A B) (A C),? A (B C) (A B) (A C). 。</p><p>4、第七章习题解答1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有 ，令 有。所以（因为闭集）。这就是说， 综上所证有：。4。</p><p>5、习题解答 1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。 解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而 2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。 证明：（1）显然且有，特别当时有有。 （2）由函数在上单调增加，从而对有 即三角不等式成立。 3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。 证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只。</p><p>6、主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义3.2.3），为此，首先讨论了外测度的性质（定理3.1.1）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点。</p><p>7、主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论它也是实变函数数论研究的中心内容一、关于勒贝格积分的建立本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替 一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的第一步是建立非负函数的积分它是。</p><p>8、第十一章 线性算子的谱 1 设0,1, ()( )( ),XCAx ttx txX=。证明( )0,1A=，且其中没有特征值。 证明证明 当0,1时，常值函数 1 不在IA 的值域中，因此IA 不是满射，这样 ( )A。 反之若0,1，定义算子 1 :( )RRx t t = 。则由于0,1，且 11 max( ) ( ,0,1) a t b R xx tx td = 因此R是 C0，1中有界线性算子。 易验证()()RIAIA RI =，所以( )A。 总之( )0,1A=， 若Aff=，则对任意t，( )( )tf tf t=，可推得( )0f t =。由于( )0,1f tC， 必有( )0f t ，所以 A 无特征值。证毕。 2 设0,2 ,()( )( ),. it XCAx te x txX=，证明 ( )1A =。 证明证明 。</p><p>9、主要内容 本章的中心内容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论 它也是实变函数数论研究的中心内容 一 关于勒贝格积分的建立 本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分 这是全章的基础 建立有界函数的积分时应注意两点 一是黎曼积分意义下的积分区间 现已被一般点集所代替 二是分划的小区间长度 现已被点集的测度所代替 一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的 第一步是建立非负函数的积分 它是通过非负函数表示。</p><p>10、主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理4.2.1等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算。</p><p>11、第九章第九章 内积空间和希尔伯特空间内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例 1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 n e 证明 若X是可分的 设 n x是X的一个可数稠密子集 不妨设 n x是线性无关。</p><p>12、1. 设X赋范线性空间, 12 , k x xxL是X中k个线性无关向量, 12 , k L是一组数, 证明:在X上存在满足下列条件:(1)( ),1,2, ii f xik=L;(2)fM的线性连续泛函 f的充要条件为:对任何数 12 , , k t ttL, 11 kk iiii ii tMt x = . 证证 必要性 若线性连续泛函f满足(1)和(2),则 () 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x = = . 充分性 若对任意数 12 , , k t ttL,有 11 kk iiii ii tMt x = ,则令 012 , k Xspan x xx=L,对任意的, 0 1 k ii i t xX = ,定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i=1i=1 :tt ii ffx = .因 kkk 0iii i=1i=1i=1 ttt iii fxMx = ,故。</p><p>13、第十一章 线性算子的谱 1 设 证明 且其中没有特征值 证明 当时 常值函数1不在的值域中 因此不是满射 这样 反之若 定义算子 则由于 且 因此是C 0 1 中有界线性算子 易验证 所以 总之 若 则对任意 可推得 由于 必有 所。</p>