随机变量的独立性

随机变量的独立性Tag内容描述：<p>1、边缘分布,随机变量的相互独立性,边缘分布 marginal distribution,二维随机变量 ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为 ，,二维离散型R.v.的边缘分布,如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,即,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布。</p><p>2、定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，Xn)的分布函数为F(x1，x2，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，xn，有 则称X1，X2，Xn相互独立,3.4 随机变量的相互独立性,第3章 多维随机变量及其分布,3.4 随机变量的相互独立性,易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，xn，有 则X1，X2，Xn相互独立 在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成立 则X1，X2，Xn相互独立 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立,特别地，二维的情形,2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,3.4 随机变量的。</p><p>3、1,一、离散型随机变量的条件分布,二、连续型随机变量的条件分布,四、小结,2.5 条件分布与随机变量的独立性,三、随机变量的独立性,2,问 题,考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布。 现在如果限制Y取值从1.5m到1.6m，在这个限制下求X的分布。,3,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,一、离散型随机变量的条件分布,4,设 考虑在事件 已发生的条件下 事件 发生的概率，即求下列事件的概率,由条件概率公式,5,定义,设(X,Y)是二维。</p><p>4、概率论与数理统计,苏敏邦,第3章 连续型随机变量,3.1 一维连续型随机变量 3.2 一维连续型随机变量函数的分布 3.3 二维连续型随机变量及其的分布 3.4 条件分布与随机变量的独立性,第3章 连续型随机变量,3.4 条件分布与随机变量的独立性 3.4.1连续型随机变量的条件概率密度与独立性 条件概率 独立性 例3.12 例3.13 例 3.14 例3.15 3.4.2二个连续型随机变量和分布 卷积公式 例3.16 例3.17 关于正态分布的两个结论 同步练习 小结,第3章 连续型随机变量,3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性,第3章 连续型随机变量,3.4.1 连续性随机变量。</p><p>5、2019年5月14日星期二,1,2.4 随机变量的独立性与条件分布 将事件独立性推广到 r.v.,设r.v. (X,Y )的联合概率函数为,则称 r.v. X 和Y 相互独立,3.3,定义,对一切 i , j=1,2,如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即,2019年5月14日星期二,2,例： 设（X,Y）的联合分布列为,解: 为判断X与Y是否相互独立，只需看边缘分布列 是否等于联合分布列的乘积.为此先求出边缘分布列,因为PX=0PY=1PX=0,Y=1,所以X与Y不独立.,2019年5月14日星期二,3,例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为,求，。,解：由于随机变量 X 和Y 相互独立，,可知,即,得。</p><p>6、1,3.3随机变量的独立性,2,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,两随机变量独立的定义是：,3,设二维随机变量(X,Y)的分布函数 为F(x, y), X和Y的边缘分布函数分别为 FX(x), FY(y),若x,y ,有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y相互独立,定义:,其意义:,事件Xx与Yy相互独立,用分布函数表示,即,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,4,离散型:,X与Y相互独立,即pij=pi. p.j (i,j=1,2,),连续型:,X与Y相互独立,若(X,Y)服从二维正。</p><p>7、的实数 和 ,随机事件 和 相互,则称随机变量 和 相互独立.,定理1 若离散型随机变量 的可能取值为,并且对任意的 和 ,事件,则 与 相互独立.,下面给出离散型和连续型时的两个重要结论.,四、 随机变量的独立性,定义5 设 是二维随机变量,如果对于任意,独立,即,定理2 设二维连续型随机变量 的联合概,则 和 相互独立.,有,例1 设二维随机变量 的联合分布律为:,且 与 相互独立,试求 和,解 由于 与 独立,所以有,又由分布律的性质,有,所以,有,例2 设随机变量 与 相互独立,下表列出了二维,填入表中的空白处.,的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值,随。</p><p>8、3.2 条件概率与随机变量的独立性,一、条件分布的概念,在第一章中，曾介绍了条件概率的概念，那是对随机事件 而说的。本节要从事件的条件概率引入随机变量的条件概率分 布的概念。,引例 考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分 别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有 一定的概率分布。现在若限制1.7Y1.8(米)，在这个条件下去 求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米 和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重 的分布。,设X是一个随机变量，其分布函数为,若另有一事件A已经发。</p><p>9、一、随机变量的相互独立性,二、离散型随机变量的条件分布,三、连续型随机变量的条件分布,四、小结,第二节 多维随机变量 及其分布(3),一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：,联合分布,边缘分布,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,1.定义2.6,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：,若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的定义等价于：,解,例1,(1)由分布律的性质。</p><p>10、一、随机变量的相互独立性,二、离散型随机变量的条件分布,三、连续型随机变量的条件分布,第3-3节 随机变量的独立性,条件分布,四、小结,一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,1.定义,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：,若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的定义等价于：,解,例1,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因。</p><p>11、3.2边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，,如何求出X和Y各自的分布？,3.2.1边际分布函数,巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，,则,YFY(y)=F(+,y).,XFX(x)=F(x,+),边缘分布的几。</p><p>12、两事件A B独立的定义是 若P AB P A P B 则称事件A B独立 随机变量的独立性 若X Y独立 则g X g Y 也独立 则相互独立等价于有 二维离散型随机变量的独立性 设二维离散型随机变量 X Y 的分布律为 解得或 或 设的分布律。</p><p>13、第三章 多维随机变量及其分布,4随机变量的独立性,1,4 随机变量的独立性,随机变量的独立性 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性,第三章 多维随机变量及其分布,4随机变量的独立性,2,一、随机变量的独立性,回忆,事件的独立性？,第三章 多维随机变量及其分布,4随机变量的独立性,3,定义：,联合 分布函数,关于Y的边缘分布,关于X的边缘分布,结论 (1)在独立的条件下有,第三章 多维随。</p>