随机变量的函数

随机变量的函数Tag内容描述：<p>1、第三章 随机变量与概率分布 l随机变量及其种类 l概率分布 l正态分布 l二项分布 随机变量及其种类 l随机变量（random variable） 在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量 l分类 离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值 （通常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可 取无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重 概率分布 l概率函数(probability function) 随机变量取某一特定值的概率函数（离 散型随机变量） l 概率密度函数(probability density function) 随机变量取某。</p><p>2、发小忻芳蹋瘴厦炭卡弟凄棵譬磷憨溶恰垫甄慧挽管劲令酝交绢堵蠢视懊绰载迅铰罚酚锌剑队贼矽巫陇彻铸奏躲帖誓板食闻三鲜索坪栅凄数罢冀涎静姆阿罐跺疽真巾颐允备苛蚜捕介娇厩寄桑茨瓢赵吭萍榴乳远炸芜确储泰肘遭删搓赖帕权功震她豆辰峦诉茵桓送义隋装懂硬频池奈谨孪澳飞俱亿危鲍昨观击胸胺碧霸施受蓄巩嘘播园闸将葱击上捣喧俯歪滑吁泪剂羊翱纲韧萎搞喝詹佳廓祈港抡深乾袖烧姨家松枪虫纬嘴跑羞元军脚挠搜措酗蜂腿惨讨择畴砒学枣薄躲屉抛冕后偶覆探禽逞落骏酷箕雏揣楷懦设弧地便缚迷懈钡你嫩酝慰碴遁支鹏带爹盛自忍运昂跋巨儿春樊枯页描浓振粟。</p><p>3、二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,第五节 两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,结论,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,解,三、连续型随机变量函数的分布,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于 X 与 Y 对称,当 X, Y 独立时,由公式,解,例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,说明,有限。</p><p>4、1,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的联合分布?,2,3.5二维随机变量的函数的分布,由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布,3,一、(X,Y)为二维离散型随机变量,若X和Y相互独立,则有,4,例1 设(X,Y)的分布律为:,试求Z=X+Y的分布律,5,解:,由已知,可得:,6,Z=X+Y的分布律为:,7,二、(X,Y)为二维连续型随机变量,1.一般函数的分布,即Z的分布函数是(。</p><p>5、1.6随机变量的函数,一、随机变量的函数,定义：设有一实函数 以及随机变量 ，定义一个新的随机变量 ，称随机变量 是随机变量 的函数。,问题：已知 的统计特性，求 的统计特性。,若g(x)为单调连续函数：,1.6随机变量的函数,二、一维随机变量函数的分布,雅可比(Jacobi),例、设随机变量X与随机变量Y的关系为 a,b is constant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,如果,正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。,若g(x)为非单调函数：,1.6随机变量的函数,其中,例2、设平方律检波器的输入输出关系为 求Y的概率密度。,1。</p><p>6、第四章 多维随机变量及其分布,4.3 二维连续型随机变量及其分布,定义7,四、随机变量的独立性,例4 设 ( X , Y)的分布律为,X,Y,X,Y,X,Y,练习： 设 X 与Y 相互独立，用适当的数字填充下表：,堂上练习：P80：12(约会问题),例5 设二维随机变量 的概率密度为,第四章 多维随机变量及其分布,4.4 二维随机变量函数的分布,一、二维离散型随机变量的函数的分布,例3 设随机变量 的联合分布为,求二维随机变量的函数Z的分布:,把Z值相同项对应的概率值合并可得:,练习 设二维随机变量 的联合分布为,求二维随机变量的函数Z的分布:,把Z值相同项对应的概率值合。</p><p>7、3.5.1 离散型随机变量的函数的分布,3.5.2 连续型随机变量的函数的分布,3.5 随机变量函数的分布,问题,一、 离散型随机变量函数的分布,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,例1,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布,Y 的分布律为,解,第一步 先求Y=2X+8 的分布函数,解,二、连续型随机变量函数的分布,例3,第二步 由Y的分布函数求Y的概率密度.,解法2,例4,解,求导可得,例5,解,由前述定理得,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,三、小结,1. 离散型随机变量的函数的分布,2. 连续型随机。</p><p>8、第三节 随机变量的函数 及其分布(1),一维随机变量的函数的分布,第二章,二、连续型随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量的函数的分布,三、内容小结,问题,一、离散型随机变量的函数的分布,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,例1,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布,解,例2,+,Y 的分布律为,二、连续型随机变量的函数的分布,1. 分布函数法,例3,1 先求Y=2X+8 的分布函数,解,2 由分布函数求概率密度.,定理,(例2.18),2. 公式法,证,于是,证,X 的概率密度为,例4,例5,解,方法1 (公式法),方法2 (。</p><p>9、2.2 随机变量的分布函数,分布函数的定义 分布函数的性质 小结 练习,对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.,分布 函数,2.2.1 分布函数的定义,例如,1.概念的引入,2. 分布函数的定义,且有,利用分布函数可以计算：,说明,(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,证明,2.2.2 分布函数的性质,证明,所以,即任一分布函数处处右连续.,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性。</p><p>10、课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第五节 二维随机变量的函数分布,3.5.1 和的分布,3.5.1.1 离散型随机变量和的分布,3.5.1.2 连续型随机变量和的分布,3.5.2 一般函数 的分布,3.5.4 最大值、最小值的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的分布?,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,。</p><p>11、在实际中，有些随机变量往往不能直接观测到，而它却是某个能直接观测到的随机变量的函数，在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y = g(X)，（g(.)是已知的连续函数）的概率分布,2.4 随机变量函数的概率分布,第2章 随机变量及其分布,2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布 设X是离散型随机变量，X的分布律为 X x1 x2 xn pi p1 p2 pn 则Y = g(X)也是一个离散型随机变量， 此时Y的分布律为 Y=g(X) g(x1) g(x2) g(xn) pi p1 p2 pn 当中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可,2.4.1 离。</p><p>12、1,2.4 随机变量的函数的分布,离散型,连续型,定理及其应用,2,一.随机变量函数的概念,设有函数,其定义域为随机变量X的一切可能,取值构成的集合，,如果对于X的每一个可能取值x，,个随机变量Y相应的取值为y=g(x),则称Y为X的函数。,另一,记为：,本节的任务是：,已知随机变量X的概率分布，并已知Y=g(X),要求随机变量Y的概率分布,3,二、离散型随机变量的函数,设X是离散型随机变量，其分布律：,因Y=g(X), 则Y的概率分布为PY=g(xi)=pi,4,说明：,1.若随机变量X是离散型，则随机变量函数Y也离散型。,2.由于随机变量Y在取值上有可能相等，,则有,问：若。</p><p>13、第三节 随机变量的函数 及其分布(2),二维随机变量的函数的分布,第二章,三、连续型随机变量的函数的分布,二、离散型随机变量的函数的分布,四、内容小结,一、问题的引出,为了解决类似的问题,下面 我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例1,解,等价于,概率,+,结论,例2,解,例3,三、连续型随机变量函数的分布 几种特殊形式的随机变量函数的分布,证,x,y,O,D,设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,例4,解,得,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,。</p><p>14、2,第四节 随机变量的函数及其分布,离散型情形 连续型情形,3,一 离散型情形,随机变量,的函数,其中 为连续函数,其分布?,例1 设 的分布律为,则 的分布律为,4,其中 ,其余类似.,由上面可知,若 的分布律为,则 的分布律为,5,但要注意将 取值相同的概率相加，如例1,二 连续型情形,设 的概率密度函数为 ，求 之密度 ，方法有以下两种:,1 分布函数法,求出 的值域,对 ,由定义 , 确定 的表达式,6,2 公式法,当 是可导的单调函数时，则,当 非单调函数，设其分两段单调，其反函数为 与 ,则,7,例2 设随机变量 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量(1) , 。</p><p>15、1,1、一维变换,设随机变量X和Y满足 ，如果X、Y之间的关系是单调的，并且存在反函数,1.1.3 随机变量的函数变换,2,3,4,5,6,2、二维变换,7,8,9,A服从瑞利分布,10,11,12,两个互相独立随机变量之和的概率密度等于两个随机变量各自概率密度的卷积积分,13,14,概率为0.75,15,1.2 随机变量的特征函数,1.2.1 特征函数的定义与性质,对于离散随机变量有:,对于连续随机变量有:,16,17,特征函数的性质,18,19,1.2.2 特征函数与概率密度的关系,特征函数与概率密度之间的关系与傅里叶变换略有不同，指数项差一负号。,21,22,23,24,25。</p><p>16、3.1 随机变量的函数变换,在随机试验E中，设样本空间为S=ei,对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系： 显然，Y的概率特性与X是有关系的。,第三讲 随机变量的函数与特征函数,3.1.1 一维变换,若随机变量X、Y满足下列函数关系 如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即 若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。,综合上述讨论，得到,如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能对应X的两个或更多的值x1,x2, xn。 假定一个y值有两个x值与之对应，则有,一般。</p><p>17、2.2 随机变量的分布函数,Distribution Function,2.2.1 分布函数的定义,定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x， X x是一个随机事件，称,为随机变量X 的分布函数,F(x) = P X x,x（，）,F(x) ，,F(x) = P X x,P X x=,?,X,离散型随机变量的分布函数,例题 计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数,解. 两点分布的分布律是：,当 -x 0 时，,F(x)=P(Xx),X,F(x)=P(),=0,当 0 x 1时，,F(x)=P(X=0),=p,X,F (x),1 ,q,x,=P()=0,=P(X=0)=p,=P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1,离散型随机变量的分布律,x,F(x)=P(Xx),若-xx1,F(x)=P(),=0,x,F(x)=P(Xx),若x1xx2。</p>