泰勒公式.

泰勒公式.Tag内容描述：<p>1、二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决。</p><p>2、一 幂级数 ,定理1 如果幂级数,的系数满足条件,| |,则 (1)当0 l +时,(2)当l =0时, R=+ ;,(3)当l = +时, R=0.,二 幂级数的收敛半径,三、幂级数的性质,1 加减法,设f(x)= 和g(x)= 的收敛半径,分别各为R10和R20 , 则,= f(x) g(x).,的收敛半径 R minR1, R2.,2 设幂级数 的收敛半径R0, 则在收敛区间(R, R)内, 其和函数S(x)是连续函数.,若级数 在端点收敛, 则S(x)在端点单侧连续.,3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可导, 并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收敛半径不变.,即 f(x) =,x (R, R),4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R, R)内可。</p><p>3、二 几个初等函数的麦克劳林公式 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的应用 应用 目的 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒公式 1 特点 一 泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 需要解决的问题 如。</p><p>4、二 几个初等函数的麦克劳林公式 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的应用 应用 目的 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒公式 特点 一 泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 需要解决的问题 如何提高精度 如何估计误差 x的一次多项式 1 求n次近似多项式 要求 故 令 则 2 余项估计 令 称为余项 则有 公式 称为的n 1阶泰勒公式 公式 称为n 1阶泰勒公式的拉格朗日余。</p><p>5、二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,1,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,2,1.求n次近似多项式,要求:,故,令,则,3,2.余项估计,令,(称为余项),则有,4,5,公式称。</p><p>6、对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用1 函数展开与向量空间泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一 种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好 地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对 其应用做进一步的说明。在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两。</p><p>7、二 几个函数的麦克劳林公式 第三节 一 泰勒公式 三 泰勒公式的应用 泰勒 Taylor 公式 第三章 一 泰勒公式 当一个函数f x 相当复杂时 为了计算它在一点x x0 时 是比 高阶的无穷小 附近的函数值或描绘曲线f x 在一点P x0 f x0 附近 的形状时 我们希望找出一个关于 x x0 的n次多项式 函数 近似表示f x 且当 机动目录上页下页返回结束 首先确定多项式函数的系数 假定。</p><p>8、二、几个初等函数的麦克劳林公式,第二节,一、泰勒公式的建立,机动目录上页下页返回结束,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第三章,1,特点:,一、泰勒公式的建。</p><p>9、第六节 泰勒(Taylor)公式,一、问题的提出,三、几种常用的Maclaurin公式,四、简单的应用,五、作业 练习,二、Taylor公式,一、问题的提出,1、关于多项式,由于它本身的运算仅是,多项式 是最,简单的一类初等函数.,所以在数值计算方面，,多项式是人们乐于使用的工具.,有限项加减法和乘法，,因此我们经常用多项式来近似表达函数.,初等数学已经了解到一些函数如 :,2、近似计算,的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样,来计算它们？,些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.,以 的近似计算为例.,高等数学微分学中所研究出来一,线性逼近优点:形。</p><p>10、二 几个函数的麦克劳林公式 第三节 一 泰勒公式 三 泰勒公式的应用 泰勒 Taylor 公式 第三章 一 泰勒公式 当一个函数f x 相当复杂时 为了计算它在一点x x0 时 是比 高阶的无穷小 附近的函数值或描绘曲线f x 在一点P。</p><p>11、二、几个初等函数的麦克劳林公式,2.3.3,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,x 的一次多项式,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,要求:,故,则,2. 误差估计,令,(称为余项) ,则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为。</p><p>12、一一 幂级数幂级数 n n n xxa 0 0 n n n xa 0 l a a n n n 1 lim n n nx a 0 定理定理1 如果幂级数如果幂级数 的系数满足条件的系数满足条件 则则 1 当当0 l 0和和R2 0 则则 f x g x 的收敛半径的收敛半径 R min R1 R2 0n n nx a 2 设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径R 0 则在收敛区则在收敛区 间间 R R。</p><p>13、第三节,泰勒公式,第三章,二 、麦克劳林（Maclaurin）公式,三 、泰勒公式的应用,一、泰勒（Taylor）公式,一、泰勒(Taylor)公式,1. 泰勒公式的建立,回顾：,特点:,以直代曲,设 f (x)在 x0 处可导，则,x 的一次多项式,不足:,1 精确度不高,2 难以估计误差,需要解决的问题:,2 给出误差：,的具体估计式.,1,观察：,有,相交,相切,pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？,pn(x) 的确定:,要求:,求系数,寻求n次近似多项式：,带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式,阶的导数,有,则对,2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式,定。</p><p>14、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第十七讲,2,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第八节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第二章,3,特点:,一。</p><p>15、一 问题的提出 三 简单应用 四 小结思考题 二 泰勒中值定理 泰勒 Taylor 公式 一 问题的提出 如下图 不足 问题 1 精确度不高 2 误差不能估计 二 泰勒 Taylor 中值定理 泰勒 Taylor 中值定理 其中 拉格朗日形式的余。</p><p>16、第九节 二元函数的泰勒公式,二、二元函数的泰勒公式,三、极值充分条件的证明,一、问题的提出,一、问题的提出,一元函数的泰勒公式,问题,能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.,二、二元函数的泰勒公式,其中记号,表示,表示,一般地,记号,证,引入函数,显然,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,利用一元函数的麦克劳林公式，得,其中,证毕,其中,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.,例 1,解,其中,三、极值充分条件的证明,利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2,证,依二元函数的泰勒公式，,。</p>