同济高等数学第六版

同济高等数学第六版Tag内容描述：<p>1、第一章综合测试题一、填空题1、函数的定义域为 .2、设, 则 .3、已知在连续，则 .4、若，则 .5、函数的连续区间为 .二、选择题1、 设是奇函数，是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A） （B） （C） （D）2、 设在内单调有界， 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A）若收敛，则收敛 （B）若单调，则收敛 （C）若收敛，则收敛 （D）若单调，则收敛 3、 设 则（ ）. （A）在点，都连续 （B）在点，都间断（C）在点连续，在点间断 （D）在点间断，在点连续4、 设，则下列断言正确的是（ ）. （A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界（C）若。</p><p>2、一、平面图形的面积 二、体积 6.2 定积分在几何学上的应用 三、平面曲线的弧长 上页下页铃结束返回首页 上页下页铃结束返回首页 f上(x) f下(x)dx, 它也就是面积元素. 一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线 yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线 xa与xb所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 下页 上页下页铃结束返回首页 讨论： 由左右两条曲线x左(y)与x右(y) 及上下两条直线yd与yc所围成的平面 图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为右(y)左(y)dy, 下页 上页下页铃结束返回首页 例。</p><p>3、第 8 章（部分）习题参考答案 第 8 章（部分）习题参考答案 1. 求下列函数的定义域： (1) zxy=+ (2) )ln(yxz+= (3) 22222222 rzyxzyxRz+= 解： （1）要使函数有意义，只需0x ，故该函数的定义域为( , )0,x y xy + yx，故该函数的定义域为0),(+ yxyx； （3）要使函数有意义，只需 222 222 xyr xyR + + ， 故该函数的定义域为 222 ( , )x yrxyR+. 2.求下列各极限 （1） 22 ( , )(0,1) 1 lim 2 x y xy xy + （2） 22( , )(1,0) ln() lim y x y xe xy + + （3） ( , )(0,1) sin lim x y xy x (4) ( , )(0,0) lim 1 1 x y xy xy + 解： （1） 2。</p><p>4、习题9-11. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分.2. 设, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=1, y=2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1。</p><p>5、1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1), 其中L是由y=0, x=1, y=x所围成区域的正向边界; 解 这里P=x2+y2, Q=y2-x2, , 由格林公式. (2), 其中L为正向星形线(a0); 解 这里, , , 由格林公式. (3), 其中L为在抛物线2x=py2上由点(0, 0)到的一段弧; 解 这里, , . 由格林公式, 其中L、OA、OB、及D如图所示. 故 . (4)计算曲线积分, 其中L为圆周(x-1)2+y2=2, L的方向为逆时针方向.解 这里, . 当x2+y20时. 在L内作逆时针方向的e小圆周l : x=ecosq, y=esinq(0q2p), 在以L和l为边界的闭区域D。</p><p>6、习题9-31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域W分别是: (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为W=(x, y, z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;解 积分区域可表示为, 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;解 曲积分区域可表示为, 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2与z=2-x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0), , z=0所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 曲积分区域可表示为, 于是 . 提示: 区域W的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平。</p><p>7、习题11-11. 写出下列级数的前五项: (1); 解 .解 .(2); 解 .解 .(3); 解 .解 .(4). 解 .解 .2. 写出下列级数的一般项: (1); 解 一般项为.(2); 解 一般项为.(3); 解 一般项为.(4). 解 一般项为.3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为, 所以级数发散. (2); 解 因为,所以级数收敛. (3). 解 .因为不存在, 所以不存在, 因而该级数发散.。</p><p>8、习题 10-1 1. 设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L, 在点(x, y)处它的线密度为m(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标, . 解 在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds), 设(x, y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIx=y2m(x, y)ds, dIy=x2m(x, y)ds . 曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为, . 曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds . 曲线L的重心坐标为, . 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线。</p><p>9、第六节 函数图形的描绘,解 定义域为,一阶导数的符号确定函数图形的上升 下降以及极值点；,二阶导数的符号确定函数图形的凹凸以及拐点.,(极大值),(拐点）,(极小值),补充点,有了函数单调性、凹凸性以及极值、 拐点等信息，就可以掌握函数的性态， 并比较准确地画出函数图形.,利用函数导数作图的方法，称为 微分作图法.,利用导数描绘函数图形的一般步骤 :,1. 确定函数 的定义域 ,3. 列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点,描绘函数图形 .,点和不存在的点 ;,并考察其对称性及周期性 ;,例2 描绘函数,的图形。</p><p>10、第二节 洛必达法则,一、 型、 型未定式,定义,函数 f (x)、 F (x)都趋于零,例如,或都趋于无穷大，,型未定式。,洛必达法则1：,证 设,则有,例1,解,=2,洛必达法则1：,都是无穷大,洛必达法则2：,例2,解,=0,=0,练习题,二、其它未定式,步骤:,例5,解,例6,解,步骤:,步骤:,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,-1,0,三、小结。</p><p>11、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ),(含导数 的方程),例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例。</p><p>12、第一节 中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,预备知识,一、罗尔(Rolle)定理,(几何解释）,罗尔定理,若函数 f(x)满足,证：,证,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,一个小于1 的正实根,例1 证明方程,有且仅有,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(几何解释),拉格朗日定理,若函数 f (x) 满足,拉格朗日中值公式,推论,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续,在(a,b)内,恒有,则函数 f(x) 在a,b上是一个常数.,故 f(x) 是一个常数, f(x) 在x1,x2连续，在(x1,x2)可导，,例2,证,例3,证:,由上式得, f(。</p><p>13、第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件的质量,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。</p><p>14、第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第八章,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称。</p><p>15、高阶导数的概念 高阶导数的求法举例,第三节 高阶导数,同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为,函数 y =(x) 的导数 仍 x 是的函数. 若 在点 x 处仍可导, 则称 在 x 处的导数为函数 y =(x) 在 x 处的二阶导数 . 记为,一、高阶导数的概念,三阶导数的导数称为四阶导数.记为,定义1 一般地,如果函数 y =(x)的n-1 阶导数仍可导时, 则函数 y =(x)的 n 1阶导数的导数称为函数 y =(x)的n 阶导数, 即,并记为,注1 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便, 记,注2 求高阶导数就是逐阶求导数, 一般可通过从低阶导数找规律, 得到函数的n 阶导数.,二、高。</p><p>16、4 1不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念 二 基本积分表 三 不定积分的性质 上页 下页 铃 结束 返回 首页 微分法 积分法 互逆运算 一 原函数与不定积分的概念 一 原函数与不定积分的概念 原函数的概念如。</p>