无穷大无穷小

无穷大无穷小Tag内容描述：<p>1、第三节 无穷小量与无穷大量,2.3.1 无穷小量,1.定义1 设 f (x)在某U(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,。</p><p>2、第二章,二、 无穷大量,三 、无穷小量与无穷大量的关系,一、 无穷小量,2.4 无穷大量与无穷小量,当,一、 无穷小量,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小量;,函数,时为无穷小量;,函数,当,为,时的无穷小量 .,时为无穷小量.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),时的无穷小量 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 2.5 . ( 无穷小量与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理 2.6 无穷小量与局部有界变量的乘积还是,证明 （就函数情形证明。</p><p>3、第四节 函数的极限,一、函数极限的定义 二、函数极限的性质和计算 三、无穷小量与无穷大量 四、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：,函数的极限六种存在形式,即函数极限的两种主要形式如下,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ，记。</p><p>4、2.3 无穷小与无穷大,2.3.1. 无穷小 2.3.2. 无穷小的运算性质 2.3.3. 无穷大 2.3.4. 无穷小与无穷大的关系 2.3.5. 无穷小与函数极限的关系 2.3.6. 无穷小的比较 2.3.7. 利用等价无穷小替换求极限,如,在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.,2.3.1 无穷小,定义,记作,证,取,恒有,恒有,恒有,的两个无穷小,2.3.2 无穷小的运算性质,证,则当,恒有,在同一过程中,有极限的变量与无穷小,常数与无穷小的乘积是无穷小;,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小.,推论1,的乘积是无穷小;,推论2,推论3,绝对值无限增大的变量称为,无。</p><p>5、1.定义,极限为零的变量称为无穷小.,一、无穷小,第八节 无穷大与无穷小,例如,注:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,零是可以作为无穷小的唯一的数.,1. 无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,无穷小量性质,2. 无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,绝对值无限。</p><p>6、1,一、无穷大,二、无穷小,三、无穷小与函数极限的关系,四、无穷小与无穷大的关系,五、小结及作业,2,一、无穷大,3,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,4,3.特殊情形：正无穷大，负无穷大,5. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,如,5,不是无穷大,无界，,6,证,7,二、无穷小,例如,8,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,9,10,证,11,三.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,12,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中。</p><p>7、11 P14 8,第三节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、无穷小量的比较,理解无穷小、无穷大的定义及两者的关系， 无穷小的运算法则，知道无穷小的比较，会用 无穷小替换求极限,2,定义 在自变量的某个变化过程中极限为零的函数称为无穷小量, 简称无穷小.,1无穷小量,例如:,一、无穷小量,3,思考:,1、X-1是无穷小，对吗？,2、-10000000000000000000是无穷小，对吗？,3、0是无穷小，对吗？,注意:,1.不要把绝对值很小的常数说成无穷小量;,2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的,变化趋势;,3.零是唯。</p><p>8、第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,极限运算法则,当,一、无穷小运算法则 1、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),无穷小的重要性质,有界量与无穷小量的乘积是。</p><p>9、第三节无穷小量与无穷大量 无穷小量无穷大量无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的运算性质无穷小量和一般极限的关系 一 无穷小量 例如 是x 时的无穷小 再例如 则称x 1是x 1时的无穷小 注意 无穷小不是一个很小的数 但。</p><p>10、1 4无穷小量和无穷大量 1 无穷小量的定义 注意 无穷小量是以0为极限的变量 无穷小量不一定是零 零作为函数来讲是无穷小量 讲一个函数是无穷小量 必须指出自变量的变化趋向 任何非零常数 不论其绝对值如何小 都不是无穷小量 错 错 注意 例2 求下列极限 错解 1 4 3无穷小量的比较 例3 求下列极限。</p><p>11、第三节 无穷小量与无穷大量,无穷小量 无穷大量 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的运算性质 无穷小量和一般极限的关系,一、无穷小量,例如,是 x 时的无穷小；,再例如,则称x 1是 x1 时的无穷小.,注意：无穷小不是一个很小的数, 但0是无穷小.,二、 无穷大量,定义2 . 若,时 , 函数,则称函数,为,时的无穷大量 .,注意:,1. 无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态。</p><p>12、1.4 无穷小量和无穷大量,1.无穷小量的定义,注意, 无穷小量是以0为极限的变量；, 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；, 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋向；, 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都 不是无穷小量。,错！,错！,，,注意,例2.求下列极限,错解,1.4.3无穷小量的比较,例3求下列极限。</p>