向量组的秩和

向量组的秩和Tag内容描述：<p>1、3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩 一 两个向量组的问题 设向量组 如果（1）中的每个向量都可以被（2）中的向 量线性表出，则称向量组（1）可以被向量组（2 ）线性标出； 若向量组（1）、（2）可以互相线性表出，则 称这两个向量组等价。 向量组的等价特点：向量组的等价特点： （1）自反性； （2）对称性； （3）传递性 ； 定理定理1 1 如果向量组（2）可以由向量组（1）线性表 出，且ts, 则向量组（2）线性相关。 证明（不要求掌握，参考课本P278） 推论：如果向量组（推论：如果向量组（2 2）线性无关，且它可）线性无关，且它可 以由向量。</p><p>2、2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一. . 基本概念基本概念 列向量组列向量组: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 矩阵矩阵A A = ( = ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的秩秩 r(r( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 第二章第二章 n n维列向量维列向量 行向量组行向量组: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的秩秩 矩阵矩阵A A = = 1 1 2 2 s s r(r( 1 1, ,。</p><p>3、引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 第二节 向量组的极大无关组与秩 定义（等价）： 一、等价向量组 性质：自反性 对称性 传递性 1 定理： 推论1： 推论2： 2 二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩 定义（极大线性无关组） 注1、条件（2）表示 2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组 推论3： 设T是由n维向量所组成的向量组，则 （1） T的每个极大线性无关组与之等价 （2）T的任意两个极大线性无关组所含向量 的个数是相同的。3 例如：对于向量组 T ： 1 = ( 1, 2, 1), 2 = (2, 3, 1) , 3 = (4, 1, 1) 1, 2 为 T 的一个最。</p><p>4、求向量组的秩与最大无关组一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩【例1】 求下列向量组a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以a,a,a为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2解2：以a,a,a为行。</p><p>5、1,第三节 向量组的最大无关组与秩,一、向量组的秩 二、向量组的等价 三、向量组的秩与矩阵秩的关系,2,一、向量组的秩,一个向量组所含的向量个数最多的无关 部分组有什么性质?,问 题,定义2.3.1,如果一个向量组的一个部分组,线性无关, 并且向量组中的任意一个向量都可以由,线性表出, 则称,为这个向量组,的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组.向量组的,最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记作,只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为0.,3,例1,设向量组 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T 求A的一个最大无关组,。</p><p>6、1,第三章 向量组与矩阵的秩,1 n维向量,2 线性相关与线性无关,3 线性相关性的判别定理,4 向量组的秩与矩阵的秩,5 矩阵的初等变换,6 初等矩阵与求矩阵的逆,7 向量空间,2,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,从二维、三维向量谈起,或,或,单位向量：,模长为1的向量.,3,用小写的粗黑体字母来表示向量 。,1 n维向量,4,数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。,n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也。</p><p>7、第四节 向量组的秩和矩阵的秩,一、向量组的秩,定义3.8,设有两个向量组,如果向量组()的每一个向量 都可以由 向量组()表出，则称向量组()可由向量组()线性表出 (线性表示)；,如果向量组() 和()可以相互线性表出，则称向量组 ()和()等价，记作 或,例1,设向量组,不难看出：,即向量组() 可以由向量组()线性表出。,由此又可解出,即向量组()可由向量组 ()线性表出。,于是向量组()和()等价。,考虑向量组,则向量组() 可由向量组()线性表示：,故向量组()不能由向量组 ()线性表示。,于是向量组()、 ()不等价。,但向量 不能由 线性表示。,向量组等价具。</p><p>8、第四节,秩定义+定理 向量组的极大线性无关组定义+例题,向量组的秩定义+定理,定义：向量组的秩表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。 定理： 1.矩阵的秩等于列向组的秩，也等于行向量组的秩 （但在求极大无关组的时候一定要用列向量） 2.向量组 能由向量组 线性表示的充 分必要条件是： 3.若向量组B能由向量组A线性表示，则,极大线性无关组定义, 定义：向量组。</p><p>9、求向量组的秩与最大无关组 一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) 把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩 【例1】 求下列向量组a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4。</p>