重积分的应用

重积分的应用Tag内容描述：<p>1、二、三重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法 把积分化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . P183 题7 练习题 计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 P183 题8(3) 三重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用。</p><p>2、7 重重积积分的分的应应用用 2 1 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。 4 5 6 9 10 曲面面积 8 3 主主 目目 录录录录（1 171 17 ） 7 13 14 11 15 求位于圆r=2sin和圆r=4sin之间的均匀薄片的重心 17 12 16 . R 化为球系下的方程化为球系下的方程 r=2R cos . . M r z 0 x y = 1.求半径为为R的球面与半顶顶角为为 的内接锥锥面所围围成的立体的体 积积 Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4 。 。 2 直角坐标 。 4 0 y x Dxy 先选系 2. 上顶：下底： 2. 4 2 . 0 z y x 2. 4 2 2x+y=4 . 0 z y x 2. x = 0 4 4 2 2x+y=4 . 0 。</p><p>3、7 重积分的应用重积分的应用 2 1 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。 4 5 6 9 10 曲面面积 8 3 主主 目目 录录（1 171 17） 7 13 14 11 15 求位于圆r=2sin和圆r=4sin之间的均匀薄片的重心 17 12 16 . R 化为球系下的方程化为球系下的方程 r=2R cos . . M r z 0 x y = 1.求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积 Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4 。 。 2 直角坐标 。 4 0 y x Dxy 先选系 2. 上顶：下底： 2. 4 2 . 0 z y x 2. 4 2 2x+y=4 . 0 z y x 2. x = 0 4 4 2 2x+y=4 . 0 z y x 2. z = 0 y =。</p><p>4、第3节 一、曲面的面积 二、平面薄片的质心 二重积分的应用 第九章 三、平面薄片的转动惯量 若光滑曲面方程为则有 一、曲面的面积 设光滑曲面 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则有 且 解 取恰当的直角坐标系，使上半球面方程为 则上半球面在XOY面上的投影D可表示为 例1 求半径a为的球的表面积。 取闭区域D1为积分区域： 算出相应于D1上的半球面面积A1后，令 偏导函数在闭区域D上不连续，所以不能直接应用面 积公式，可作如下处理。 球面面积为 解 二、平面薄片的质心 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 例2. 求位于两圆和的。</p><p>5、第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动目录上页下页返回结束,重积分的应用,第十章,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,机动。</p><p>6、1,8.4 重积分的应用,在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。,2,3,例1 求半径为a的且过原点的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。,解 球心在 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与 z 轴重合，,立体所占有的空间闭区域可用不等式表示:,球面方程为 r = 2acos，,锥面方程为 = 。,4,所以,5,6,8.4.1 微元法（元素法）,如果要求的量U,(2) 在D内任取一直径很小的闭区域d，相应的部分量可近似地表示为,(1) U 对于有界闭区域D具有可加性。</p><p>7、6 重积分的应用教学目的与要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式教学重点，难点：重点：曲面面积的计算公式难点：物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式教学内容：本节介绍重积分在几何与力学方面的几点应用.一、 曲面的面积设D是可求面积的平面有界区域，函数在D上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程所确定的曲面S的面积. 利用“分割-近似求和-取极限”和“以平代曲”的思想，可得上述曲面面积的计算公式为或 其中为曲面的法向量与z轴正向夹角的余弦.例1 求圆锥在。</p><p>8、一、重积分的几何应用 二、二重积分的元素法 三、空间曲面的面积 四、小结,第四节 重积分的应用（几何应用）,一、重积分的几何应用,(1)平面图形的面积: (2)空间立体的体积: (3)空间曲面的面积:,例1,解（一）利用二重积分来计算,解（二）利用三重积分来计算,例1,解,1 画的草图,3 由对称性，得,例2,D1,1.,练习题,解,1.,练习题,解,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,二、二重积分的元素法,假设要计算的量U 关于闭区域D具有可加性.,预备知识：,A,用两组直线分割A（其中一组平行于两平面 的交线）为n个小矩形，,1. 设曲面S的方程为：,如。</p><p>9、4.6 二重积分及其简单应用,(一),二重积分及其简单应用,【二重积分的概念】,1.曲顶柱体,非负且连续函数.,设 是定义在有界闭区域 上,我们称,以曲面 为顶,面上,的区域 为底,以平行于 轴,且沿着底面区域 的边界,曲线的直线围成的立体,称为曲顶柱体.,二重积分及其简单应用,2.曲顶柱体的体积,特点：平顶.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,底面积 高,柱体体积=,二重积分及其简单应用,求曲顶柱体的体积的步骤：,的面积为, 分割:,将区域 任意,分割成 个小,区域：,第 块小区域,二重积分及其简单应用,求近似代替:,任取一点,求和:,二重积分及其简单应用,。</p><p>10、1 -,第四节 重积分的应用,曲面的面积 物理应用,- 2 -,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,- 3 -,已经学过的利用重积分解决的问题,1 平面区域,的面积,2 曲顶柱体的体积,3 平面薄片,的质量,4 空间物体,的体积,5 空间物体,的质量,- 4 -,例1 求物体,的体积。,解,在球坐标系下空间立体,所占区域为,则立体体积为,- 5 -,一 曲面面积。</p><p>11、1 -,二重积分的定义与性质,例1 判别,的符号，其中D,为,解,由于当,时，,所以,- 2 -,例2 估计二重积分,的值，,其中,解,当,时，,D的面积为,- 3 -,例3,计算,解,由积分中值定理知：,存在,满足,使得,注意到,所以,原式,- 4 -,例4,设,在,连续，,证明：,证,设,- 5 -,二重积分在直角坐标系下的计算,- 6 -,例5 计算二重积分,其中D是由,围成的区域。,解法一,- 7 -,例5 计算二重积分,其中D是由,围成的区域。,解法二,- 8 -,例6 计算二重积分,其中,解,- 9 -,例7 化二重积分,为直角坐标下二次,积分。,1） D是由,围成的区域。,解,- 10 -,2） D是由,围成的区。</p><p>12、第四节 重积分的应用,第九章,一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答,一、主要内容,(一)几何应用 立体体积的计算 曲顶柱体的体积 由二重积分的几何意义知，以曲面z f ( x, y)为顶， 以xOy面上的闭区域D为底的曲顶柱体的体积为 V f ( x, y)d. D 空间立体的体积 占有空间有界域 的立体的体积为 V dv. ,2. 曲面的面积,设光滑曲面S : z f (x, y) , (x, y) Dxy,A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , Dxy,d x d y.,A 1 ( z )2 ( z )2 x y Dxy,即,d A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , 称为面积元素 故有曲面面积公式,Dyz,1 ( x )2 (。</p><p>13、第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,第九章,1,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返。</p><p>14、第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动目录上页下页返回结束,重积分的应用,第十章,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法,机动。</p><p>15、1 二 三重积分的应用 2 曲顶柱体的体积 3 设曲面的方程为 如图 二 曲面的面积 4 曲面S的面积元素 曲面面积公式为 所以当曲面的方程为 5 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 同理可得 6 解。</p>