重积分习题课

重积分习题课Tag内容描述：<p>1、三重积分习题课 重点：1.计算； 2.应用 上边界曲面（上顶） 下边界曲面（下底） xOy 坐标面上的投影区域 一、利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二” （一）先投影，再确定上、下面 x 0 z y c1 c2 . “ “先二后一先二后一” ” zDz （二）坐标轴投影法 c1, c2: 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 zc1, c2且垂于z轴 的平面截 得到的截面 0 x z y M(x, y, z) M(r, z) z r P(x, y, 0) x y z 柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z) z = z . . 二、利用柱面坐标计算三重积分 x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成： 半平面 及+d ;。</p><p>2、习题课习题课 重积分重积分( (二重二重) ) 习题二重积分计算 一 的解题程序 （1）画出积分域D的草图。 （2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被 积函数的形式，见表11-1。 表11-1 （3）选择积分次序 选序的原则： 先积分的容易，并能为后积分创造条件； 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。 定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线/坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的。</p><p>3、主要内容介绍 典型例题选讲 课堂自主练习,微积分习题课电子教程,第九章 重积分,三重积分的练习,第二次习题课,理解的概念,熟练掌握的概念,三重积分的定义、性质、 注意性质中的积分中值定理,三重积分的计算 (直角坐标、柱面坐标系、球面坐标系),直角坐标系下的计算,柱面坐标系下的计算,球面坐标系下的计算,三重积分的定义,三重积分的性质(略),直角坐标系下的计算公式,柱面坐标系下的计算公式,球面坐标系下的计算公式,例题选讲,练一练,与,一.直角坐标,解,所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,底为,于是，,二.柱面坐标,Z=1,解,二柱面。</p><p>4、第九章 习题课,重积分,一 基本要求 1理解重积分的概念. 2了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广. 3掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标）. 4会用重积分求一些几何量和物理量.,二.要点提示,二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算。三重积分可以化为一个单积分和一个二重积分或三次积分来计算。,1.重积分的计算,二重积分： 在直角坐标系下,则 （先y后x）,X-型区域:,若积分区域D可表示为,若积分区域D可表示为Y-型区域：,若D 不是X-型、Y-型 区域，可由重积分。</p><p>5、定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行。</p><p>6、1,第八章 重积分,8.4 重积分的应用,8.4.5 三重积分习题课,基本方法：化三重积分为三次积分计算。,关键步骤：,(1)坐标系的选取,(2)积分顺序的选定（直角）,(3)定出积分限,2,要结合被积函数、积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案。,对积分区域要有一定的空间想象力，最好能画出的图形。如 的图不好画，也要画出在某坐标面上的投影区域的图形。,3,1、利用直角坐标系计算三重积分。,(1)“投影法”又叫“先单后重法”,设往xoy平面上的投影区域为Dxy，过Dxy内任一点而穿过内部的平行于轴的直线与的边界曲面至多两个交点，则,适用性较。</p><p>7、1 -,二重积分的定义与性质,例1 判别,的符号，其中D,为,解,由于当,时，,所以,- 2 -,例2 估计二重积分,的值，,其中,解,当,时，,D的面积为,- 3 -,例3,计算,解,由积分中值定理知：,存在,满足,使得,注意到,所以,原式,- 4 -,例4,设,在,连续，,证明：,证,设,- 5 -,二重积分在直角坐标系下的计算,- 6 -,例5 计算二重积分,其中D是由,围成的区域。,解法一,- 7 -,例5 计算二重积分,其中D是由,围成的区域。,解法二,- 8 -,例6 计算二重积分,其中,解,- 9 -,例7 化二重积分,为直角坐标下二次,积分。,1） D是由,围成的区域。,解,- 10 -,2） D是由,围成的区。</p><p>8、1,二重积分的计算方法,2,1 矩形区域,积分区域,2 积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,3,3 积分区域为：,其中函数,在区间,上连续.,4二重积分的换元,4,5极坐标变换,6交换积分顺序进行计算,5,例 计算球面 上被柱面,所截取部分曲面,的面积.,6,例1,解,所围平面闭区域.,两曲线的交点,7,D: x + y =1 , x y = 1，x = 0 所围,1,1,1,y =1 x,y = x 1,例2 将二重积分化成二次积分,8,例3 计算,解,9,解,10,例5,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,11,D:,a,a,x = y,例6 将二次积分换序,12,2R,区域边界：,x = 0,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例7,13,解,例8,计算。</p><p>9、重积分复习,一、知识点回顾；二、典型例题分析；三、练习,积分区域为：,二重积分（几何意义：曲顶柱体体积）物理意义：平面的质量,X型,积分区域为：,Y型,二重积分在极坐标下的计算公式,1、被积分函数或者积分区域含有圆，常用极坐标；2、在积分中注意使用对称性与奇偶性;3、一般变量代换中注意雅可比行列式要加绝对值,1、极点不在区域D的内部,2、极点位于区域D的内部,3、极点在区域D的。</p><p>10、第九章 重 积 分习 题 课,主要内容,典型例题,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性。</p><p>11、练习课，1，中点计算的基本方法，2，中点计算的基本技术，3，中点应用，第8章，中点计算和应用，1，中点计算的基本方法，1，使用牙齿坐标表示简洁或变量分隔的函数，2。选择易于计算的积分顺序。积分域划分很少，累积积分很奇妙。图解、介面、边界、(从内到外的3360面、线、点)、3。确定确定实例2。将积分转换为三次积分。其中曲面，提示：积分是圆周，平面，封闭的闭合区域。示例3。计算积分。这里是两个球的公。</p><p>12、第九章 重积分习题课,主要内容 例题,一、主要内容,1、重积分的定义。 2、重积分的存在性。 3、重积分的性质。 4、在几种常用坐标系下（面积元素、体积元素及）重积分的表示。 5、重积分计算的基本方法化为累次积分（降维数）。 积分顺序与定限顺序相反。,6、关键选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据： 1）积分域的形状（分块少，表达简便，易定限） 边界主要为某坐标线（面）选用该坐标 2）被积函数的形。</p>