x届高考数学总复习基础知识名师讲义学案第四章x节《平面向量的数量积》文

三节平面向量的数量积1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知识梳理一、平面向量的数量积的定义1向量A，B的夹角已知两个非零向量A，B，过点O作A，B，则OAOBAOB0180叫做向量A，B的夹角当且仅当两个非零向量A，B同方向时，0，当且仅当A，B反方向时，180，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的2A与B垂直如果A，B的夹角为90，则称A与B垂直，记作AB3A与B的数量积两个非零向量A，B，它们的夹角为，则COS叫做A与B的|A|B|数量积或内积，记作AB，即ABCOS，规定0A0，非零向量A与B当且仅当|A|B|AB时，90，这时AB04B在A方向上的投影|OP|COSR注意是射影|B|AB|A|OP|5AB的几何意义AB等于A的长度与B在A方向上的投影的乘积二、平面向量数量积的性质设A，B是两个非零向量，E是单位向量，于是有1EAAECOS|A|2ABAB03当A与B同向时，AB；当A与B反向时，AB，特别地，AAA2|A|B|A|B|2，即|A|A|A24COSAB|A|B|5|AB|A|B|三、平面向量数量积的运算律1交换律成立ABBA2结合律成立BARAABB3分配律成立CACBCCABAB四、平面向量数量积的坐标表示1若AX1，Y1，BX2，Y2，则ABX1X2Y1Y22若AX，Y，则|A|2AAX2Y2，|A|X2Y23若AX1，Y1，BX2，Y2，则|AB|X2X12Y2Y124若AX1，Y1，BX2，Y2，则ABX1X2Y1Y205若AX1，Y1，BX2，Y2，则ABX1Y2X2Y106若AX1，Y1，BX2，Y2，则COSX1X2Y1Y2X21Y21X2Y2基础自测1X辽宁卷已知点A1,3，B4，1，则与向量AB同方向的单位向量为AB35，4545，35CD35，4545，35解析4，11,33，4，与同方向的单位向量为ABOBOAABAB|AB|35，45答案A2X佛山一模已知A1,2，B0,1，CK，2，若A2BC，则KA2B2C8D8解析A1,2，B0,1，A2B1,4，又因为A2BC，所以A2BCK80，解得K8，故选C答案C3XX卷在平面直角坐标系XOY中，已知1，T，2,2，若ABO90，则OAOB实数T的值为_解析因为ABO90，即，ABOB所以3,2T2,2642T0，解得T5ABOBOBOAOB答案54已知平面向量，1，2，2，则的值是_|2|答案101XX卷设A，B为向量，则“|AB|A|B|”是“AB”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析AB|A|B|COS若|AB|A|B|COS1，则向量A与B的夹角为0或，即AB为真；相反，若AB，则向量A与B的夹角为0或，即|AB|A|B|答案C2XX卷在四边形ABCD中，1,2，4,2，则该四边形的面积为ACBDAB2C555D10解析因为14220，所以，所以四边形的面积为ACBDACBC5，故选C|AC|BD|2122242222答案C高考测验1X广州一模已知两个非零向量A与B，定义|AB|A|B|SIN，其中为A与B的夹角若A3,4，B0,2，则|AB|的值为A8B6C8D6解析由已知可得|A|5，|B|2，则COS，SINAB|A|B|30425245|AB|A|B|SIN526故选D3535答案D2X韶关二模已知平面向量A，B，|A|1，|B|2，AAB；则COSA，B的值是_解析由题意可得AABA2AB0，即112COSA，B0，解得COSA，B12答案12第二节平面向量的分解及向量的坐标表示1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识梳理一、平面向量基本定理如果E1，E2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量A，有且只有一对实数1，2，满足A1E12E2，其中不共线的向量E1，E2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为E1，E2称1E12E2为E1，E2的线性组合二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量I，J作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量A可表示成AXIYJ，由于A与数对X，Y是一一对应的，因此把X，Y叫做向量A的坐标，记作AX，Y，其中X叫做A在X轴上的坐标，Y叫做A在Y轴上的坐标规定1相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系三、平面向量的坐标运算1若A，B，则ABX1X2，Y1Y2X1，Y1X2，Y22若A，B，则X1，Y1X2，Y2ABX2X1，Y2Y13若AX，Y，则AX，Y四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若AX1，Y1，BX2，Y2运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则ABX1X2，Y1Y2ABBA，ABCABC，ABBCAC向量的减法三角形法则ABX1X2，Y1Y2ABAB，ABBAOBOAAB数乘向量法A是一个向量满足0时，A与A同向；0；当A与B异向时，000的图象一元二次方程AX2BXC0A0的根有两相异实根X1,2BB24AC2AX10X|XX2X|X_一元二次不等式AX2BXC0的解集A0的解集是R，Q1F1的解集是A3,13，B3,12，C1,13，D，31,33已知不等式X22X30的解集为3,2，则YFX的图象是5当X1,2时，不等式X2MX40；2329X26X10变式迁移1解下列不等式12X24X34XP3对一切0P4均成立，试求实数X的取值范围转化与化归思想的应用例X分已知不等式AX2BXC0的解集为，且006分BCAC，得0，BC11AC111、为方程X2X0的两根10分11BCAC0X分11【突破思维障碍】由AX2BXC0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知A0，CA因A0A0恒成立的条件是ERRORAX2BXC0，集合QX|X2X20，则XQ是XPX1X1的A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3X银川模拟已知集合MX|X22008X20090，NX|X2AXB0，若MNR，MN2009，2010，则AA2009，B2010BA2009，B2010CA2009，B2010DA2009，B20104若M1X2M1X3M11BM1或MA2A30，则使得1AIX21的X的取值范围为_8X泉州月考已知函数FX的定义域为，FX为FX的导函数，函数YFX的图象如右图所示，且F21，F31，则不等式FX261的解集为_三、解答题共38分9X分解关于X的不等式0A0，AX2BXC02计算相应的判别式3当0时，求出相应的一元二次方程的根4根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集解1两边都乘以3，得3X26X20，且方程3X26X20的解是X11，X21，3333所以原不等式的解集是X|10，2X24X30，且方程3X22X80的解是X12，X2，43所以原不等式的解集是，2，433原不等式可转化为16X28X10，即4X120，原不等式的解集为14例2解题导引1含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏2若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式3其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解上述不等式不一定为一元二次不等式，当A0时为一元一次不等式，当A0时为一元二次不等式，故应对A进行讨论，然后分情况求解1A0时，解为X02A0时，44A2当0，即01时，X3当A0，即111A2A11A2A0，即A1时，不等式化为X120，解为XR且X10；当1；11A2A11A2A当A1时，解集为X|XR且X1；当A1当A0时，原不等式变形为XX11时，解得0，1A11A1A综上所述，当A1时，不等式解集为，11A例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题解方法一FXXA22A2，此二次函数图象的对称轴为XA当A，1时，FX在1，上单调递增，FXMINF12A3要使FXA恒成立，只需FXMINA，即2A3A，解得3A0，不等式04XMX22X3要使原不等式对任意实数X恒成立，只要2X28X6M0对任意实数X恒成立4XP3，X1PX24X30令GPX1PX24X3，则要使它对0P4均有GP0，只要有ERRORX3或X1，QX2，或X1，集合P，Q之间不存在包含关系，所以XQ是XP的既不充分又不必要条件3D化简得MX|X2009，由MNR，MN2009,2010可知NX|1X2010，即1,2010是方程X2AXB0的两个根所以B120102010，A12010，即A20094C当M1时，不等式变为2X60，这个不等式可以化为X0因上式对XR都成立，所以14A2A10时，由LOG2X1，得X2；当X0时，由X21，得X0，即FX在，0上为增函数；当X0时，FX1等价于FX26F2或FX26F3，即21时，AA2，此时A21时，原不等式的解集为X|A013CA又，2为方程AX2BXC0的两个根，6分13，即BA53BA53又，BA，CA8分CA235323不等式CX2BXA0又A0，2X25X30，所求不等式的解集为X分X|3X12X解1XR时，有X