河南省周口市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年河南省周口市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每题 5 分） 1如果复数 z=a2+a 2+（ 3a+2） i 为纯虚数，那么实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 或 2 2给出如下四个命题： 若 “p q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1”； “ x R， x2+x 1”的否定是 “ R， 1”； “x 0”是 “x+ 2”的充要条件 其中不正确的命题是（ ） A B C D 3对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据：（ （ ，（ xn，则下列说法中不正确的是（ ） A由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心（ ， ） B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好 D若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r= 变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 4下面几种推理中是演绎推理的是（ ） A由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电 B猜想数列 5， 7， 9， 11， 的通项公式为 n+3 C由正三角形的性质得出正四面体的性质 D半径为 r 的圆的面积 S=单位圆的面积 S= 5因为 a， b R+， a+b 2 ， 大前提 x+ 2 ， 小前提 所以 x+ 2， 结论 以上推理过程中的错误为（ ） A小前提 B大前提 C结论 D无错误 6设随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2），则函数 f（ x） =x+不存在零点的概率为（ ） A B C D 7设 等差数列 前 n 项和， （ a2+则 的值为（ ） A B C D 8在 ， B= ， c=150， b=50 ，则 （ ） A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 第 2 页（共 19 页） C等边三角形 D等腰三角形 9将数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2， 3， 4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（ ） A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 10函数 f（ x） =x，若对于区间 ， 上的任意 有 |f（ f（ | t，则实数 t 的最小值是（ ） A 4 B 2 C D 0 11设直线 l 与曲线 f（ x） =x+1 有三个不同的交点 A、 B、 C，且 | ，则直线 l 的方程为（ ） A y=5x+1 B y=4x+1 C y= x+1 D y=3x+1 12已知函数 f（ x） = ，若对任意的 +），有 | | ，则实数 k 的取值范围为（ ） A（ ， 2 B（ ， 1） C 2， +） D（ 2， +） 二、填空题（每题 5 分） 13在（ x ） 5 的二次展开式中， 系数为 _（用数字作答） 14以模型 y=拟合一 组数据时，为了求出回归方程，设 z=变换后得到线性回归方程 z=，则 c=_ 15现有 16 个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各 4 个，从中任取 3 个，要求这 3 个小球不能是同一颜色，且红色小球至多 1 个，不同的取法为 _ 16设 a 为实常数， y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =9x+ +7若 f（ x） a+1 对一切 x 0 成立，则 a 的取值范围为 _ 三、解答题 17数列 前 n 项和为 n+1 2，数列 首项为 差为 d（ d 0）的等差数列，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 18某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日营业额 y（单位：千元）与该地当日最低气温 x（单位： ）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ ）求 y 关于 x 的回归方程 = x+ ； （ ）判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1 月份某天的最低气温为 6 ，用所求回归方程预测该店当日的营业额 （ ）设该地 1 月份的日最低气温 X N（ ， 2），其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 P（ X 第 3 页（共 19 页） 附： 回归方程 = x+ 中， = ， = b X N（ ， 2），则 P（ X +） =P（ 2 X +2） = 19某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个 “平行班 ”，每班 50 人，陈老师采用 A， B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）记成绩不低于 90 分者为 “成绩优秀 ” （ 1）从乙班随机抽取 2 名学生的成绩，记 “成绩优秀 ”的个数为 ，求 的分布列和数学期望； （ 2）根据频率分布直方图填写下面 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 “成绩优秀 ”与教学方式有关 甲班（ A 方式） 乙班（ B 方式） 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附： P（ k） k 0如图，正方形 四边形 在的平面互相垂直， ，F=1 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A D 的大小 第 4 页（共 19 页） 21已知椭圆 C： （ a b 0）的右焦点为 F（ ， 0），上下两个顶点与点 F 恰好是正三角形的三个顶点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，如果 直角三角形，求直线 l 的方程 22已知函数 f（ x） = （其中 k R， e 是自然对数的底数）， f（ x）为 f（ x）导函数 （ ）若 k=2 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ 1） =0，试证明：对任意 x 0， f（ x） 恒成立 第 5 页（共 19 页） 2015 年河南省周口市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1如果复数 z=a2+a 2+（ 3a+2） i 为纯虚数，那么实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 或 2 【考点】 复数的基本概念 【分析】 纯虚数的表现形式是 a+ a=0 且 b 0，根据这个条件，列出关于 a 的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确 【解答】 解： 复数 z=a2+a 2+（ 3a+2） i 为纯虚数， a2+a 2=0 且 3a+2 0， a= 2， 故选 A 2给出如下四个命题： 若 “p q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1”； “ x R， x2+x 1”的否定是 “ R， 1”； “x 0”是 “x+ 2”的充要条件 其中不正确的命题是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 “p q”为真命题， p、 q 二者中只要有一真即可； 写出一个命题的否命题的关 键是正确找出原命题的条件和结论； 直接写出全称命题的否定判断； 利用基本不等式，可得结论 【解答】 解： “p q”为真命题， p、 q 二者中只要有一真即可，故不正确； “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1”，正确； “ x R， x2+x 1”的否定是 “ R， 1”，故不正确； “x 0”时， “x+ 2”，若 “x+ 2”，则 “x 0”， “x 0”是 “x+ 2”的充要条件，故正确 故选： C 3对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据：（ （ ，（ xn，则下列说法中不正确的是（ ） A由样本数据得到的回归方程 = x+ 必过样本中心（ ， ） B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 第 6 页（共 19 页） C用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好 D若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r= 变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 【考点】 两个变量的线性相关 【分析】 线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强 【解答】 解：样本中心点在直线上，故 A 正确， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故 B 正确， 大拟合效果越好，故 C 不正确， 当 r 的值大于 ，表示两个变量具有线性相关关系， 故选 C 4下面几种推理中是演绎推理的是（ ） A由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电 B猜想数列 5， 7， 9， 11， 的通项公式为 n+3 C由正三角形的性质得出正四面体的性质 D半径为 r 的圆的面积 S=单位圆的面积 S= 【考点】 演绎推理的意义 【分析】 本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出 “三段论 ”的三个组成部分 【解答】 解：选项 A 是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理， 选项 B，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理， 选项 C：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理， 选项 D 半径为 r 圆的面积 S=为单位圆的半径为 1，则单位圆的面积 S= 中， 半径为 r 圆的面积 S=大前提 单位圆的半径为 1，是小前提 单位圆的面积 S= 为结论 故选： D 5因为 a， b R+， a+b 2 ， 大前提 x+ 2 ， 小前提 所以 x+ 2， 结论 以上推理过程中的错误为（ ） A小前提 B大前提 C结论 D无错误 【考点】 进行简单的演绎推理 【分析】 演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是 “三段论 ”形式，即大前提小前提和结论 【解答】 解： ， 这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件， a， b 都是正数， 是小前提，没有写出 x 的取值范围， 第 7 页（共 19 页） 本题中的小前提有错误， 故选 A 6设随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2），则函数 f（ x） =x+不存在零点的概率为（ ） A B C D 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式 【分析】 函数 f（ x） =x+不存在零点，可得 1，根据随机变量 服从正态分布 N（ 1，2），可得曲线关于直线 x=1 对称，从而可得结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+不存在零点， =4 4 0， 1 随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2）， 曲线关于直线 x=1 对称 P（ 1） = 故选 C 7设 等差数列 前 n 项和， （ a2+则 的值为（ ） A B C D 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的性质与通项公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d 由等差数列 性质可得： a2+ （ a2+=6 5=6（ d）， 化为 14d 则 = = = 故选： D 8在 ， B= ， c=150， b=50 ，则 （ ） A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可求得 = ，利用大边对大角可得 C ，可解得： C， A 的值，从而得解 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解：由已知及正弦定理可得： = = c=150 b=50 ， C ，可解得： C= 或 解得： A= 或 故选： B 9将数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2， 3， 4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（ ） A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 首先计算 4 个数字填入 4 个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1 个数字相同的情况，有 2 个数字相同情况，有 3 个数字相同的情况数目，由 事件间的相互关系，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2， 3， 4 的四个方格里，共 4种填法， 其中，四个数字全部相同的有 1 种， 有 1 个数字相同的有 4 2=8 种情况， 有 2 个数字相同的有 1=6 种情况， 有 3 个数字相同的情况不存在， 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 24 1 8 6=9 种， 故选 B 10函数 f（ x） =x，若对于区间 ， 上的任意 有 |f（ f（ | t，则实数 t 的最小值是（ ） A 4 B 2 C D 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 问题等价于对于区间 ， 上， f（ x） f（ x） t，求出 f（ x）的导数，分别求出函数的最大值和最小值，从而求出 t 的范围即可 【解答】 解：对于区间 ， 上的任意 有 |f（ f（ | t， 等价于对于区间 ， 上， f（ x） f（ x） t， f（ x） =x， f（ x） = 0， 函数在 ， 上单调递增， f（ x） f（ ） =2， f（ x） f（ ） = 2， f（ x） f（ x） ， t 4， 实数 t 的最小值是 4， 故选： A 第 9 页（共 19 页） 11设直线 l 与曲线 f（ x） =x+1 有三个不同的交点 A、 B、 C，且 | ，则直线 l 的方程为（ ） A y=5x+1 B y=4x+1 C y= x+1 D y=3x+1 【考点】 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据对称性 确定 B 的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出 A 的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程 【解答】 解：由题意，曲线 f（ x） =x+1 是由 g（ x） =x，向上平移 1 个单位得到的， 函数 g（ x） =x 是奇函数，对称中心为（ 0， 0）， 曲线 f（ x） =x+1 的对称中心： B（ 0， 1）， 设直线 l 的方程为 y=， 代入 y=x+1，可得 k 2） x， x=0 或 x= 不妨设 A（ ， k +1）（ k 2） | （ 0） 2+（ k +1 1） 2=10 2k2+k 12=0 （ k 3）（ k2+k+4） =0 k=3 直线 l 的方程为 y=3x+1 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，若对任意的 +），有 | | ，则实数 k 的取值范围为（ ） A（ ， 2 B（ ， 1） C 2， +） D（ 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论 【解答】 解： f（ x） = ， f（ x） = ， 当 0 x 1 时， f（ x） 0，当 x 1 时， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， +）单调递减， 故 f（ x）在 +）上单调递减，不妨设 则 | | f（ f（ k（ ）， f（ k f（ k ， 第 10 页（共 19 页） 函数 F（ x） =f（ x） = 在 +）上单调递减， 则 F（ x） = 0 在 +）上恒成立， k +）上恒成立， 在 +）上，（ ， 故 k （ ， 2， 故选： A 二、填空题（每题 5 分） 13在（ x ） 5 的二次展开式中， 系数为 40（用数字作答） 【考点】 二项式定理 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 求出 系数 【解答】 解： ， 令 所以 r=2， 所以 系数为（ 2） 20 故答案为 40 14以模型 y=拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z=变换后得到线性回归方程 z=，则 c= 【考点】 线性回归方程 【分析】 我们根据对数的运算性质： =可得出结论 【解答】 解： y= 两边取对数，可得 = 令 z=得 z= z=， ， c= 故答案为： 15现有 16 个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各 4 个，从中任取 3 个，要求这 3 个小球不能是同一颜色，且红色小球至多 1 个，不同的取法为 472 【考点】 计数原理的应用 【分析】 利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决 【解答】 解：由题意，不考虑特殊情况，共有 60 种取法，其中每一种小球各取三个，有 46 种取法， 两个红色小球，共有 2 种取法， 第 11 页（共 19 页） 故所求的取法共有 560 16 72=472 种 故答案为： 472 16设 a 为实常数， y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =9x+ +7若 f（ x） a+1 对一切 x 0 成立，则 a 的取值范围为 【考点】 函数奇偶性的性质；基本不等式 【分析】 先利用 y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数求出 x 0 时函数的解析式，将 f（ x） a+1对一切 x 0 成立转化为函数的最小值 a+1，利用基本不等式求出 f（ x）的最小值，解不等式求出 a 的范围 【解答】 解：因为 y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x=0 时， f（ x） =0； 当 x 0 时，则 x 0，所以 f（ x） = 9x +7 因为 y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 所以 f（ x） =9x+ 7； 因为 f（ x） a+1 对一切 x 0 成立， 所以当 x=0 时， 0 a+1 成立， 所以 a 1； 当 x 0 时， 9x+ 7 a+1 成立， 只需要 9x+ 7 的最小值 a+1， 因为 9x+ 7 2 =6|a| 7， 所以 6|a| 7 a+1， 解得 ， 所以 故答案为： 三、解答题 17数列 前 n 项和为 n+1 2，数列 首项为 差为 d（ d 0）的等差数列，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 第 12 页（共 19 页） 【分析】 （ 1）利用 、等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出； （ 2）利用 “错位相减法 ”即可得出 【解答】 解析：（ 1）当 n 2 时， n 1=2n+1 2n=2n， 又 ，也满足上式， 所以数列 通项公式为 b1=，设公差为 d，由 等比数列， 得（ 2+2d） 2=2 （ 2+10d），化为 3d=0 解得 d=0（舍去） d=3， 所以数列 通项公式为 n 1 （ 2）由（ 1）可得 ， 2， 两式相减得 ， = = 18某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日营业额 y（单位：千元）与该地当日最低气温 x（单位： ）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ ）求 y 关于 x 的回归方程 = x+ ； （ ）判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1 月份某天的最低气温为 6 ，用所求回归方程预测该店当日的营业额 （ ）设该地 1 月份的日最低气温 X N（ ， 2），其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 P（ X 附： 回归方程 = x+ 中， = ， = b 第 13 页（共 19 页） X N（ ， 2），则 P（ X +） =P（ 2 X +2） = 【考点】 线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 （ I）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （ 据 的符号判断，把 x=6 代入回归方程计算预测值； （ 出样本的方差，根据正态分布知识得 P（ X =P（ X +P（ X 【解答】 解：（ I）解：（ I） = （ 2+5+8+9+11） =7， = （ 12+10+8+8+7） =9 =4+25+64+81+121=295， =24+50+64+72+77=287， = = = =9（ 7= 回归方程为： = （ = 0， y 与 x 之间是负相关 当 x=6 时， = 6+ 该店当日的营业额约为 元 （ 本方差 25+4+1+4+16=10， 最低气温 X N（ 7， 10）， P（ X =P（ 0， 6 X = P（ X = （ = P（ X =P（ X +P（ X = 19某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个 “平行班 ”，每班 50 人，陈老师采用 A， B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）记成绩不低于 90 分者为 “成绩优秀 ” 第 14 页（共 19 页） （ 1）从乙班随机抽取 2 名学生的成绩，记 “成绩优秀 ”的 个数为 ，求 的分布列和数学期望； （ 2）根据频率分布直方图填写下面 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 “成绩优秀 ”与教学方式有关 甲班（ A 方式） 乙班（ B 方式） 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附： P（ k） k 考点】 离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型 随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由频率分布直方图，得乙班 “成绩优秀 ”人数为 4， 可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 （ 2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 12， 38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 4， 46，作出列联表，求出 观测值，由此能判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为： “成绩优秀 ”与教学方式有关 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图，得乙班 “成绩优秀 ”人数为 4， 可能取值为 0， 1， 2， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P = （ 2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 12， 38， 第 15 页（共 19 页） 乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 4， 46， 甲班（ A 方式） 乙班（ B 方式） 总计 成绩优秀 12 4 16 成绩不优秀 38 46 84 总计 50 50 100 根据列联表中数据， 观 测值： 在错误的概率不超过 前提下认为： “成绩优秀 ”与教学方式有关 20如图，正方形 四边形 在的平面互相垂直， ，F=1 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A D 的大小 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）设 于点 G，则在平面 ，可以先证明四边形 平行四边形 可证： 平面 （ ）先以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C 对应各点坐标求出来，可以推出 =0 和 =0，就可以得到 平面 ）先利用（ ）找到 =（ ， ， 1），是平面 一个法向量，再利用平面法向量 =0 和 =0，求出平面 法向量 ，就可以求出二面角 A D 的大小 【解答】 解：证明：（ I）设 于点 G， 因为 ， ， 所以四边形 平行四边形所以 因为 面 面 所以 平面 （ 为正方形 四边形 在的平面互相垂直， 所以 平面 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C 则 C（ 0， 0， 0）， A（ ， ， 0）， D（ ， 0， 0）， E（ 0， 0， 1）， F（ ， ， 1） 第 16 页（共 19 页） 所以 =（ ， ， 1）， =（ 0， ， 1）， =（ ， 0， 1） 所以 =0 1+1=0， = 1+0+1=0 所以 以 平面 （ ， =（ ， ， 1），是平面 一个法向量， 设平面 法向量 =（ x， y， z），则 =0， =0 即 所以 x=0，且 z= y令 y=1，则 z= 所以 n=（ ），从而 ， ）= 因为二面角 A D 为锐角，所以二面角 A D 为 21已知椭圆 C： （ a b 0）的右焦点为 F（ ， 0），上下两个顶点与点 F 恰好是正三角形的三个顶点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，如果 直角三角形，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）通过题意直接计算即得结论； （ ）通过设直线 l 方程，设