概率论与数理统计习题册答案

概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 湖北汽车工业学院 理学系 数学教研室唯一一位出书的老教授 .致敬 !本书相比浙大的概论 ,通俗易懂 ,内容简洁 .2 概率的古典定义概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是 0，1，2，9 中的任一个数（但第一个数字不能为 0） ，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率解：基本事件总数为 6101019 CC有利事件总数为 45789245678设 表示“电话号码是由完全不同的数字组成” ，则A 06.19)(62AP二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率解：基本事件总数为 !01指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为 种；这三本书按确定的!7A顺序放在书架上的所以可能的位置共 种；这三本书的排列顺序数为 ；81C!3A故有利事件总数为 (亦可理解为!38!7)3P设 表示“指定的三本书放在一起” ，则A067.15!)(AP三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率解：20 个队任意分成两组（每组 10 队）的所以排法，构成基本事件总数 ；两个最强102C概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数 9182C设 表示“最强的两队被分在不同组” ，则A 56.019)(028AP四、某工厂生产的产品共有 100 个，其中有 5 个次品从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于 1 个的概率解：设 表示“出现的次品为 件” ， 表示“取出的产品中次品不iAi ),432,10(A多于 1 个” ，则 因为 ，所以 而.10AV10 ).()(10APP28.9743)(5019CAP 529.79425)(019CP故 8.0)(五、一批产品共有 200 件, 其中有 6 件废品求 (1) 任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率; (2) 任取 3 件产品没有废品的概率 ; (3) 任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率解：设 表示“取出的 3 件产品中恰有 1 件废品” ； 表示“取出的 3 件产品中没有废品”AB；表示“取出的 3 件产品中废品不少于 2 件” ，则C(1) 085.1920348)(1946 AP(2) 2.)(320194B(3) 03.19804)(32019461946 CP六、设 求 A, B, C 至少有一事件发41)( ,0 ,3)()( BCP(A)PBBA概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 生的概率解：因为 ，所以 ，从而 可推出0P(AC)B) VACB, VCAB)(0)(ACP设 表示“A, B, C 至少有一事件发生” ，则 ，于是有DD)()()()()() ABCPPP75.043133 条件概率与概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、设 求 ,6.0)|(,4.0)(,5.)( BAPAP )|(,)BAP解：因为 ，所以 ，即B(14.06).1(5.0)()( 68.7.53.)4(.)()()()| BAPAPAP二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设 表示“第一次拨通” ， 表示“第二次拨通” ， 表示“拨号不超过两次而ABC拨通”（1） 2.01)()( 1901CAPC（2） 4.5)()( 2541B三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率解：设 表示“第 台机床加工的零件 ” ； 表示“出现废品” ； 表示iAi )2,1(iBC“出现合格品”（1） )()()()()() 22112121 APACPAPCPC 973.0.30.3（2） 25.0.310.2)()()()( 211222 ABPABPAPB四、猎人在距离 100 米处射击一动物，击中的概率为 0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150 米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为 200 米假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率解：设 表示“第 次击中 ” ，则由题设，有 ，得iAi )3,21(i 106.)(1kAP，从60k而有，4.0156)(2kAP .3026)(3kAP设 表示“三次之内击中” ，则 ，故有3211A)()()()( 3212118.04.6.04.60. （另解）设 表示“猎人三次均未击中” ，则B概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 168.0)3(4.01)6.() BP故所求为 8321)(五、盒中放有 12 个乒乓球，其中有 9 个是新的第一次比赛时从其中任取 3 个来用，比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取 3 个，求第二次取出的都是新球的概率解：设 表示“第一次取得 个新球” ，则iAi ),210(i201)(30CP7)(3129CAP2018(392CAP084)(312903设 表示“第二次取出的都是新球” ，则B 312631273128312930 08407)()( CCABPPi ii .54540721 4 随机事件的独立性独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于 0.8，第三台等于 0.7求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率解：设 表示“第 台机床不需要照管 ” ，则iAi )3,21(i9.0)(1P8.0)AP7.0)(3AP再设 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管” ，则B 321321321321B于是有概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 )()()()()()()( 321321321321 APAPAPAPBP )7.0(8.907.)8(9.078.)90(7.809. 2（另解）设 表示“有 台机床需要照管” ， 表示“在一小时内三台iBi )1,(iB车床中最多有一台需要工人照管” ，则 且 、 互斥，另外有0B054.078.90)(P 398.0)71(8.97.)81(9)1 B故 023.)()00 PB二、电路由电池 与两个并联的电池 及 串联而成设电池 损坏的概率分别是abccba,0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率解：设 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ；则1Aa2Ab3Ac3.0)(P.0)(32P又设 表示“电路发生间断” ，则B321B于是有 )()()() 321321321 APAPP()138.0.0.0三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 、 、 ，求能将此5134密码译出的概率解：设 表示“甲能译出” ； 表示“乙能译出” ； 表示“丙能译出” ，则ABC概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 51)(AP31)(BP41)(CP设 表示“此密码能被译出” ，则 ，从而有DBAD)()()()()() ABCCBP () CPA6.041351453145 （另解） ，从而有52)41(3)()()() PBPD6.0521D四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为 飞7.0,54.机被一人击中而被击落的概率为 ，被两人击中而被击落的概率为 ，若三人都击中，2.0 6.0则飞机必被击落求飞机被击落的概率解：设 表示“甲命中” ； 表示“乙命中” ； 表示“丙命中” ；则1A2A3A4.0)(1P5.0)(2P7.0)(3P设 表示“ 人击中飞机 ” ，则iBi ),1i 9.)(.4.()()() 3213210 AAP31 )()()( 32132121P)()(321APP36.075.4.07.5.0)4()7.0(5.4.0 () 3213213212 AABP)()()P)()( 321321321 AP概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 41.07)5.1(4.0)7.1(5.0)41()7.0(5.14.0 )() 32323 APAPB设 表示“飞机被击落” ，则由题设有0)(.0)(1B6.0)(2B1)(3BAP故有458.0.41.36.9.)()(30 i iiAPAP五、某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是 0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率解：设 表示“第 人贡献正确意见 ”，则 iAi 7.0)(iAP)9,21(i又设 为作出正确意见的人数， 表示“作出正确决策” ，则m)9(8)7(6)5() 99PP 279369459 )3.0(.).0(7.)3.0(. CCC187 273645 )3.0(.).0(7.8)3.0(.26918)7(94.156.28.0六、每次试验中事件 A 发生的概率为 p，为了使事件 A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于 p，问至少需要进行多少次试验？解：设做 次试验，则n概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 npAPAP )1(1 一 次 都 不 发 生至 少 发 生 一 次要 ，即要 ，从而有pn)1( pn)( .log)1(np答：至少需要进行一次试验5 离散随机变量的概率分布超几何分布二项分布泊松分布一、 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品安装机器时从这批零件中任取 1个如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布解：设 表示“在取得合格品以前已取出的废品数” ，则 的概率分布为X X0 1 2 3p129C1923C 10923C312即 X0 1 2 3p434909201亦即 X0 1 2 3p75.205.041.04.二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 生产过程中出现废品时立p即进行调整求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布解：设 表示“在两次调整之间生产的合格品数” ，且设 ，则 的概率分布X q1为0 1 2 n概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 ppq2npq三、 已知一批产品共 20 个，其中有个次品（）不放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布；（）放回抽