国科大图像处理与分析-王伟强-作业题及答案汇总-2015年版

1【作业 1】2、一幅 8 灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。 （计算中采用向上取整方法，图中的 8 个不同灰度级对应的归一化直方图为0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02）【解答】直方图均衡采用公式=0()1式中，G 为灰度级数，取 8，p r(w)为灰度级 w 的概率，S r 为变换后的灰度，计算过程如下表所示：灰度级 r 各级概率 Pr(r) 累积概率 =0() 累积概率81 向上取整 sr0 0.17 0.17 0.36 11 0.25 0.42 2.36 32 0.21 0.63 4.04 53 0.16 0.79 5.32 64 0.07 0.86 5.88 65 0.08 0.94 6.52 76 0.04 0.98 6.84 77 0.02 1 7 7则新灰度级的概率分别是：Ps(0) = 0Ps(1) = Pr(0) = 0.17Ps(2) = 0Ps(3) = Pr(1) = 0.25Ps(4) = 0Ps(5) = Pr(2) = 0.21Ps(6) = Pr(3) + Pr(4) = 0.23Ps(7) = Pr(5) = Pr(6) = Pr(7) = 0.142编写 matlab 程序并绘制直方图：s=0:1:7;p=0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14;bar(s,p);axis(-1 8 0 0.3);可以看出，此图较题目原图更加“均匀” 。【作业 2】1、完成课本数字图像处理第二版 114 页，习题 3.10。【解答】由图可知 ()=2+2,(01)()=2,(01)将两图做直方图均衡变换31=1()=0()=0(2+2)=2+22=2()=0()=0(2)=2令上面两式相等，则 2=2+2因为灰度级非负，所以 = 2+22、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。（1） 1 2 3 4 5 4 3 2 1 * 2 0 -2 （2）1 0 12 0 21 0 11 3 2 0 41 0 3 2 30 4 1 0 52 3 2 1 43 1 0 4 2【解答】（1）设向量 a= 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ，下标从-4 到 4，即 a(-4)=1，a(-3)=2 a(4)=1；设向量b= 2 0 -2 ，下标从-1 到 1，即 b(-1)=2，b(0)=0 ，b(1)=-2；设向量 c=a*b，下标从-5 到 5。根据卷积公式可知()= =()()= 4=4()()其中， ，则55c(-5)=a(-4)b(-1)=1*2=2c(-4)=a(-4)b(0)+a(-3)b(-1)=1*0+2*2=4c(-3)=a(-4)b(1)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-1)=1*(-2)+2*0+3*2=4c(-2)=a(-3)b(1)+a(-2)b(0)+a(-1)b(-1)=2*(-2)+3*0+4*2=4c(-1)=a(-2)b(1)+a(-1)b(0)+a(0)b(-1)=3*(-2)+4*0+5*2=4c(0)=a(-1)b(1)+a(0)b(0)+a(1)b(-1)=4*(-2)+5*0+4*2=0c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)+a(2)b(-1)=5*(-2)+4*0+3*2=-4c(2)=a(1)b(1)+a(2)b(0)+a(3)b(-1)=4*(-2)+3*0+2*2=-4c(3)=a(2)b(1)+a(3)b(0)+a(4)b(-1)=3*(-2)+2*0+1*2=-4c(4)=a(3)b(1)+a(4)b(0)=2*(-2)+1*0=-4c(5)=a(4)b(1)=1*(-2)=-2所以卷积结果为： 2 4 444 0 -4 -4 -4 -4 -2 （2）设矩阵4=1 0 12 0 21 0 1下标从(-1,-1) 到(1,1) ，即 b(-1,-1)=-1，b(-1,0)=0b(1,1)=1；设矩阵=1 3 2 0 41 0 3 2 30 4 1 0 52 3 2 1 43 1 0 4 2下标从(-2,-2) 到(2,2) ，即 a(-2,-2)=3，a(-2,-1)=2 a(2,2)=4；设矩阵 c=a*b=b*a，下标从(-3,-3) 到(3,3) 。根据卷积公式可知(,)= =(,)(,)= 2=2 2=2(,)(,)其中， ， ，则33 33c(-3,-3)=a(-2,-2)b(-1,-1)=3*(-1)=-3c(0,0)=a(-1,-1)b(1,1)+a(-1,0)b(1,0)+a(-1,1)b(1,-1)+a(0,-1)b(0,1)+a(0,0)b(0,0)+a(0,1)b(0,-1)+a(1,-1)b(-1,1)+a(1,0)b(-1,0)+a(1,1)b(-1,-1)=3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*(-1)+0*(-2)+2*(-1)=8c(3,3)=a(2,2)b(1,1)=4*1=4所以卷积结果为：-1 -3 -1 3 -2 0 4-3 -6 -4 4 -4 2 11-3 -7 -6 3 -6 4 15-3 -11 -4 8 -10 3 17-7 -11 2 5 -10 6 15-8 -5 6 -4 -6 9 8-3 -1 3 -3 -2 4 2【作业 3】1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是(,)=(2+2)22根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为5(,)=22222(2+2)这些闭合形式只适用于连续变量情况。在证明中假设已经知道如下结论：函数 的傅立叶变换为(x2+2) (2+2)【解答】(,)=(2+2)222(+)=222+2222+2=122(242)122(242)=122(2424242+4242)122(2424242+4242)=(22)2222222(22)2222222令 ， ，则 du=dr，dv=ds，上式写成：=22 =22=22222222222222=222(2+2)222222=222(2+2)22( 12222)( 12222)因为后两项是高斯分布，在 到 积分为 1，故上式等于：=22222(2+2)=(,)命题得证。2、第二版课本习题 4.6（ a）6【解答】先来证明结论 (1)+=(+)根据欧拉公式展开等式右边 (+)=cos(+)+sin(+)因为 x，y 均为整数，故 ，sin(+)=0当 x+y 为奇数时， cos(+)=1当 x+y 为偶数时， cos(+)=1故 (1)+=(+)再来证明题中等式 (,)(1)+)=(,)(+)=11=01=0(,)(+)2(+)=11=01=0(,)2(22)2(+)=11=01=0(,)2(2) +(2)=(2,2)3、观察如下所示图像。右边的图像这样得到：(a)用左侧图像乘以 ；(b)计算离散傅里叶变(1)+换(DFT)；(c)对变换取复共轭；(d)计算离散傅里叶反变换；(e) 结果的实部再乘以 。用数(1)+学方法解释为什么会产生右图的效果。 （忽略中间和右侧的黑白条纹，原题没有）【解答】已知(,)=11=01=0(,)2(+)=(,)则傅里叶变换的共轭复数进行傅里叶反变换的结果如下：7(,)=11=01=0(,)2(+)=11=01=0(,)2()+()=(,)设原始图像为 ，经过(a)变换后得到(,)(1)+(,)经过(b) 变换后得到(,)=11=01=0(1)+(,)2(+)经过(c)变换后得到(,)=11=01=0(1)+(,)2(+)经过(d)变换后得到(,)=11=01=0 11=01=0(1)+(,)2(+)2(+)其实部为 ，经过(e)变换后得到(1)+(,)(1)+(1)+(,)=(,)最终效果是将原图像上下颠倒，左右颠倒，实现了旋转 180 度的效果。【作业 4】1、请用公式列举并描述出你所知道的有关傅里叶变换的性质。【解答】1、时移性2、频移性3、均值4、共轭对称性5、对称性6、周期性87、线性8、微分特性9、卷积定理10、相关定理11、相似性12、几种特殊函数的傅里叶变换2、中文课本 173 页习题 4.21【解答】没有区别。补 0 延拓的目的是在 DFT 相邻隐藏周期之间建立一个“缓冲区” 。如果把左边的图像无限复制多次，以覆盖整个平面，那么将形成一个棋盘，棋盘中的每个方格都是本图片和黑色的扩展部分。假如将右边的图片做同样的处理，所得结果也是一样的。因此，无论哪种形式的延拓，9都能达到相同的分离图像的效果。3、 （1）假设我们有一个0,1上的均匀分布随机数发生器 U(0,1)，请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。 （2）若我们有一个标准正态分布的随机数发生器 N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成方程。【解答】（1）设 U(0,1)可生成随机数 w，用它来生成具有指数 CDF 的随机数 z，其 CDF 具有下面的形式()=10 ,0,0 时， 对 有增强作用，由于“胡椒”噪声值较小，对加权平均结果的影(,)(,)响较小，所以滤波后噪声点处(x,y) 取值和周围其他值更接近，有利于消除 “胡椒”噪声