实变函数测试题与答案

实变函数试题一，填空题1. 设 , , 则 .12nA limnA2. ,因为存在两个集合之间的一一映射为,ab:3. 设 是 中函数 的图形上的点所组成E2R1cos,00,xy的 集合，则 ， .E4. 若集合 满足 , 则 为 集.nERE5. 若 是直线上开集 的一个构成区间, 则 满足:,G, .6. 设 使闭区间 中的全体无理数集, 则Eab.mE7. 若 , 则说 在 上 .()nfx()0f()nfxE8. 设 , ,若 ,则称 是ER0n0x的聚点.9. 设 是 上几乎处处有限的可测函数列 , 是()nfxE ()fx上 几乎处处有限的可测函数, 若 , 有E 0, 则称 在 上依测度收敛于 .()nfxE()fx10. 设 , , 则 的子列 , ()()nfxfxE()nfx()jnfx使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若 可测, 且 ,则 .ABBAmB2. 设 为点集, , 则 是 的外点. EPE3. 点集 的闭集.1,2,n 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若 ,满足 , 则 为无限集合.nER*mEE三, 计算证明题1. 证明: ABCABC2. 设 是 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, M3R有理数为半径的球的全体, 证明 为可数集 . M3. 设 , 且 为可测集, .根据题意, 若nEiBi 1,2i有, 证明 是可测集 .*0,imBiE4. 设 是 集, .PCantor32ln1,(), 0,1xxPfx 求 .10(L)()fxd5. 设函数 在 集 中点 上取值为 , 而在 的fCantor0Px3x0P余集中长为 的构成区间上取值为 , , 求13n 16n,2.10()fxd6. 求极限: .1320lim(R)sinnxxd实变函数试题解答一 填空题1. .0,22. ()tan,.2xxaxabb3. ; .1(,)cos,0(,)1xyxy4. 闭集.5. ,.,.G6. .ba7. 几乎处处收敛于 或 收敛于 .()fxa.e()fx8. 对 有 .0,U 0E9. lim()()nnEfxf10. 于 .()ffa.eE二 判断题1. . 例如, , , 则 且 ,但F(01)A01BAB.mB2. . 例如, , 但 0 不是 的外点 .F0(1)(,1)3. . 由于 .E4. . 例如, 在 中, , 是一系列的F1R1,nFn3,4闭集, 但是 不是闭集. 3(0,1)n5. . 因为若 为有界集合, 则存在有限区间 , , TEI使得 , 则 于 .I*,mI*mE三, 计算证明题.1. 证明如下: SSSABCABCABAC:2. 中任何一个元素可以由球心 , 半径为 唯一确M(,)xyzr定, , , 跑遍所有的正有理数 , 跑遍所有的有理数 . 因xyz r为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故 为可M数集. 3. 令 , 则 且 为可测集 , 于是对于 , 1iiBiEBi都有 , 故i,*0imBEBE令 , 得到 , 故 可测. 从而i0可测 .EBE4. 已知 , 令 , 则0mP0,1GP.1 320 2210130(L)()(L)ln(L)()()R()PGGPGfxdxdxdfxdxdfx 5. 将积分区间 分为两两不相交的集合: , , , 0,10P1G2其中 为 集, 是 的余集中一切长为 的构成区0PCantornG0P3n间(共有 个) 之并. 由 积分的可数可加性, 并且注意到题12L中的 , 可得 0m0 10 00 010 11 11 11()()()() ()()6263129nnP GnnP Gn nn nn nnnfxdfxdfxdf ffxddxm 6. 因为 在 上连续, 32sin1xx01存在且与 的值320(R)idx1320(L)sinxxd相等. 易知 3232 231sin .1112xnxnxx由于 在 上非负可测， 且广义积分 收敛，x0,10d则在 上 可积， 由于 ， 12x0,(L) 32limsin01nxx，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到,.1 13 32 20 01 32010lim(R)sinlim(L)sinliin nnx xxdxdxd 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15 分，每小题 3 分）1.非可数的无限集为 c 势集 2.开集的余集为闭集。 3.若 m E=0，则 E 为可数集 4.若 |f(x)| 在 E 上可测，则 f(x) 在 E 上可测 5.若 f(x) 在 E 上有界可测，则 f(x) 在 E 上可积 二、将正确答案填在空格内（共 8 分，每小题 2 分）1._可数集之并是可数集。A. 任意多个 B. c 势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 2._闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是_A 开集 B 闭集 C F 型集 D G 型集 4.若 |f| 在 E 上可积，则_A. f 在 E 上可积 B. f 在 E 上可测 C. f 在 E 上有界 D. f 在 E 上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（共 9 分，每小题 3 分）。四、证明下列集合等式（共 6 分，每小题 3 分）：1.S- S = (S-S ) 2.Ef a= Efa- 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8 分）六、证明：设 f(x)，f (x)为可积函数列，f (x) f(x) a.e 于 E，且|f |d |f|d ，则对任意可测子集 e E 有? |f |d |f|d （7 分）七、计算下列各题：（每小题 5 分，共 15 分）1. sin(nx)d =? 2.设 f(x)= 求 d =? 3.设 f(x)= ?n=2,3, ?求 d =? 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例) 1.非可数的无限集为 c 势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于 c）。 2.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。 3.若 m E=0，则 E 为可数集（不正确！如 contorP 集外测度为 0，但是 C 势集）。 4.若 |f(x)| 在 E 上可测，则 f(x) 在 E 上可测（不正确！如 ） 5.若 f(x) 在 E 上有界可测，则 f(x) 在 E 上可积（不正确！如 有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内1 至多可数个 可数集之并是可数集。A. 任意多个 B.c 势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G 型集A 开集 B 闭集 C? F 型集 D? G 型集 4.若 |f| 在 E 上可积，则 f 在 E 上几乎处处有限 A. f 在 E 上可积