北京交通大学数字分析研究生课程6微分方程数值解

120第 6 章 常微分方程初值问题数值解法6.1 问题的描述和基本概念1、常微分方程初值问题 一般形式0(,)yfxya式中 已知， 称为初值条件.(,)fxy0(y 初值问题的数值方法和数值解求函数 在若干离散点 上的近似值()yxkx的方法称为初值问题的数值方法，而(0,1ky称 为初值问题的数值解.)1212. 建立数值解法的思想与方法微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式.设节点为 01 1nnaxx 距离 称为步长.1kkh求数值解一般是从 开使逐次顺序求出 .0y12,y初值问题的解法有单步法和多步法两种： 单步法：计算 时只用到 一个值；1kyky 多步法：计算 时要用 多个值。1,kly数值解法还有显格式和隐格式之分。微分方程离散化方法主要有122数值微分法，数值积分法和 Taylor 展开法1) 数值微分法由 ，用数值微分的 2 点前差公式()(,)kkkyxfyx代替 ，得近似离散化方程1()()()(,)kkkkkyxfyxx记 ，做 ，“ ”，得差分方程1kkhxkky1(,)kfxyh即1(,)kkkyfxy（Euler 公式）由初值条件 及 Euler 公式可求出数 值解0()a.Euler 公式是显式单步法.12,nyy 2）数值积分法123在 上对 两边取定积分，得1,kx(,)yfxy111()() (,)kkxkkxydfyxd右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得 1()()(,()kkkkyxyxhfxy于是得到求初值问题的 Euler 方法1 (,)kkkkyyhfxy右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得 1 11()()(,()kkkkyxyxhfxyx 124于是得到求初值问题的后退 Euler 方法1 +1+1(,)kkkkyyhfxy后退 Euler 方法是隐式的.右端积分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程： 1 11()()(,)(,()2kkkkkkhyxyxfxyfxy 于是得到求初值问题的梯形方法1251 1(,)(,)2kkkkhyfxyfxy 该公式是隐式单步法.3）Taylor 展开法因为初值问题中函数 是已知函数，由(,)fxy，可以计算 ， ，(,)yfxy于是有函数 在 处的 Taylor 展式()xk12621 2()()()()!()(,)(,)!kkkkkkkk xhyxyxxyxdf fy 取上式右端前若干项，得近似离散化方程.例如取前两项有 1()()(,()kkkkyxyxhfxy于是又得到 Euler 公式： .1,f3. 数值解法的误差、 阶与绝对稳定性单步法数学描述为 1 11(,)kkkkyhxyh 显式：1271(,)kkkyyhxyh其中 称为增量函数.(,)x 显式单步法的一些概念定义 1 称 111()kkkeyxy为单步法在节点 的整体截断误差，而称x11()()(,),kkkkkTyyxhxyh为在 点的 局部截断误差。1kx表示解 在 的值，是 准确值，没有误差；()y()yxk128表示由数值解公式得出 的近似值，是数值解，ky ()kyx有截断误差. 局部截断误差 的理解1kT假设在计算 时 没有误差（ ）下,计算出()yx()kkyx的 （ ）与 的误差1ky ,)kkkhh1(计算一步的误差） .11Tx定义 2 如果数值解法的局部截断误差为 11()PkTOh则称该方法具有 p 阶精度或该方法是 p 阶方法.方法的阶越高，方法越好.129 局部截断误差的主项如果某方法是 p 阶方法， 按 可展为11()PkTOh1 21()(,)P