全国数学建模大赛利用太阳影子定位定时

1利用太阳影子定位定时摘要影子是时刻伴随我们身边的朋友，太阳光下的影子可以给我提供很多的信息。如何利用影子的位置来确定日期和地点是本文要解决的主要问题。本文运用了几何知识、曲线拟合以及地理知识等方法解决了这些主要问题，得到了影子长度随时间的变化曲线和根据影子分析位置。针对问题一，我们建立了影长变化模型，以解决在天安门广场时间与影长的变化关系，并用 excel 软件画出了相应的函数变化曲线。针对问题二，我们建立了影顶定位模型，该模型主要解决了如何求解影子的经度的问题；由于该模型功能有限，我们也建立了求解地方纬度的模型，然后用经纬度地图查询软件定位出了所求点的位置。针对问题三，假设时间，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。针对问题四，从附件 4 中按比例求出影长，然后假设最短影长，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。关键词：影长 曲线拟合 几何分析模型 定位一、 问题重述1.1 问题背景太阳影子定位的发展有助于人们对身边事物的充分了解和利用，阳光每天都会照耀在我们身上，我们是否有真正的懂得其中的哲理呢？ 随着人民生活水平的不断提高，人们对了解身边事物的渴望越来越强烈，研究太阳影子带来的科研成果将更加丰富人的生活，对世界有更多的了解和认识，拓宽人类的视野。2在本文里我们将运用所学的知识，构造影子定位模型，根据影子计算出物体所处的地理位置和时间日期。为了进一步的了解太阳影子的带给我们的信息语言，我们小组创建了一下几个模型以解决在不同环境、不同地域下成立的影子定位模型。1.2 本文需要解决的问题有：（1）求解出太阳高度角及确定当地的赤纬与当地时角（2）当地纬度和太阳高度角间的联系（3）时差分析（4）经纬度定位二、问题分析2.1 问题一 “建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律”我们在建立模型之前首先查阅了相关的资料，初步设想了解决问题的方案。提出问题：直立杆在太阳光下的影子是怎样变化的？求解影长首先我们想到的是利用三角函数，因为在太阳光下，太阳光经过杆顶会与地面形成一个夹角 ，影长 l-直杆 h-太阳直射光线 形成的一个直角三角型，示意如图 2-1若知道 角和 h 的高即可利用正切三角公式 tan= h/l 影长l=h/tan 所以，求出 角即为求出影长的关键。( 即为太阳高度角)2.2 问题二，根据数据分析出最小影长，得到当地的正午时间，利用时差分析出当地的经度，利用太阳高度角公式 1sin =sin sin +cos cos cos t 以及三3角函数关系 sin2+cos2=1 联立方程组，此方程组仅有 sin、cos 为未知量，即可求出 sin 和 cos 的值，利用反三角函数求出 的值，也就是我们所需要的纬度，利用求出的经度和纬度在地图上确定可能的位置。2.3 问题三，根据附件 2 中的各点（X i，Y j） ，拟合出方程 Y=0.51X+0.816,依据推论（正午最短影长的投影应该在 X 轴或 Y 轴上） ，经初步验证排除了最短影长在 Y 轴上的可能。跟据影长的变化率，确定最短影长的当地时间，利用时差确定其经度，同理可依据附件 3 中的数据确定可能地点的经度。假设一个日期，根据纬度求解方法求出当地纬度。2.4 问题四， 按照一定的时间间隔分别记录若干组影子与杆长的比例，求出不同的影长。日期可以用来算积日，当地时间可以求得时角，故可以求得每个角的太阳高度角的正弦值，利用太阳高度角公式 sin =sin sin +cos cos cos t 求出 sin，利用反三角函数求出 的值，也就是我们所需要的纬度；依据附表 4 求得影长随时间的变化率，求得最短影长分析时差计算出经度。最后利用所求出的经纬度在地图上确定位置。三、模型假设与约定3.1 模型一假设（1）2015 年 10 月 22 日 9：00-15：00 北京天安门广场整天都有阳光照射（2）直杆没有被任何物体所遮挡，且不被风力所影响（3）太阳高度角不受地球热面大气折射的影响3.2 模型二假设（1）约定直杆长 h=3m（2）直杆所处位置白昼时间都有阳光照射（3）假设地球公转是匀速圆周运动3.3 模型三假设（1）假设直杆长度 h=3m （2）不考虑特殊情况的影响（如：没有阳光）3.4 模型四假设4（1）影长变化率是按线性变化的（2）最短影长为 l=1m（3）忽略测量是的误差四、符号说明及名词定义符号 意义a、b、c 常数h 直杆长度（m）l 影子长度（m）t 时角（）d 该日期距离春分日的天数（天）N 积日（天）T 距离 12：00 的小时数(Xi，Y j) 坐标 太阳高度角（） 当地赤纬（）当地纬度（）地球公转角速度（）太阳直射纬度（）5五、模型建立和解决5.1 模型一5.1.1 模型准备（1）模型符号说明：太阳高度角（）h：直杆长度（m）l：影子长度（m）：赤纬（）：当地纬度（）t：当地时角（以当地时间 12：00 为 0，后每小时增加 15）N:积日（1 月 1 日-当日相距天数）T：该时间距离 12：00 的小时数（h）（2）太阳光线的确定为建立模型简单合理，取经过杆顶的一条太阳光线与地面形成夹角 且 在 0 90之间,所以 =arctan（h/l） 。（3）模型近似为了求解模型方便，将直杆所处地面近似为绝对水平面，无任何的凹凸起伏。而且直杆立与地面保持与地面的相对静止。5.1.2 模型的建立为帮助理解，我们做了太阳光线与地面、直杆影长所构成的示意图如图5.12-1 所示6我们的求解目的是求出影子的长度，已知杆长为 h=3m，我们已经假设了影长为 l，太阳高度角为 根据示意图如果要求影子长度由正切三角函数公式 lhtan可知，我们首先要确定 角的值。为了求解出太阳高度角的值，建立一下的数学模型sin =sin sin+cos cos cos t即求解出 的值成为了解决本题的关键。要求出 的值，但是有三个未知量分别是当地纬度 、赤纬角度 2、当地时角 t3 。由题目的已知条件，我们可以得到当地纬度的的值是“北纬 39 度 54 分 26 秒” ， 即=395426时角 t 可以通过题目给定的时间日期是可以计算的即t=T*15所以要求解出 sin 就必须建立一个模型求 这里的 表示的是从天赤道沿着天体的时圈至天体的角度称为该天体的赤纬。根据地球示赤纬意图如图 5.1.2-2 所示赤纬 图 5.1.2-27由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的,即可建立以下模型用来求解 sin 的值sin=0.39795*cos0.98563*(N-173)其中 N 表示的是积日（1 月 1 日-当日相距天数） 。5.1.3 模型的求解（1）已知：日期 2015 年 10 月 22 日（用来求积日 N）北京时间 9:00-15:00 用来求当地时间（求时角 t ）地点 天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）杆高 h=3m（2）计算由已知可求得 N=295利用公式 sin=0.39795*cos0.9856*(N-173) sin2+cos 2=1求得sin=0.25772，cos=0.96622又由t=T*15求出不同时间的时角 t，然后不同时间的时角的余弦 cost，见图表 5.1.3-1 所示；利用已知条件求出 cos 和 sin 的值，即 cos =0.766269，sin =0.64252利用公式sin =sin sin +cos cos cos t求出不同时间 sin 的值，见图表 5.1.3-1 所示，再根据sin2+cos 2=1， ancosi 求出不同时间的 tan 的值，见图表 5.1.3-1 所示8利用公式tan= lh求得不同时间的影长 l 见图表 5.1.3-1 所示根据所计算出的数据建立影长-时间变化曲线如下图 5.1.3-2 所示再根据曲线，用 excel 拟合出时间与影长的变化规律函数为l = 0.1943*T2 - 4.7694*T + 30.6765.2 模型二5.2.1 模型准备（1）模型符号说明影长-时间变化曲线图 5.1.3-2图表 5.1.3-19：太阳高度角（）：赤纬（）t：当地时角（以当地时间 12：00 为 0，后每小时增加 15）：当地纬度（）：太阳直射点纬度 （） ：地球公转角速度（rad/天）d：距离春分日的时间（天）（2）模型约定杆的长度为 h=3m，不考虑特殊因素的影响5.2.2 模型的建立由题目提供的信息与所要解决的问题，我们建立了以下的“影顶模型” 。根据附件 1 影子顶点坐标数据，求出最小影长，根据时差就得当地经度。由于太阳直射点每时每刻都在变，所以=360/365建立一个求解太阳直射角 4的数学模型如下=arcsin2326*sin（ d）将公式简化为=0.4*sin（0.9863*d）已知 =90-|- | tan= lhh 和 l 是已知量可求出 角，式中只有 为未知量，即可求出 的值，也就是当地的纬度，然后根据经纬度在地图上确定位置。5.2.3 模型的求解（1）已知地球公转角速度 =360/3650.9863/d10杆长 h=3m（2）计算经度的计算分析，如图 5.2.3-1 所示 1如上图所示，设 x=0 时影长最小，根据附表一中的数据求出每分钟 x 轴上的变化率（1.8277-1.0365）/60=0.13186667再求出 x 的值从 01.8277 所需要的时间，根据 x=1.8277 的时间为 14：42，根据时间差求出 x=0 的时间，也就是最小影长的时间按