1_6354031_5.外接球.先定球心再求半径

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 305 中国 高考数学母题 (第 100 号 ) 外接球 先定球心 ,再求半径是解决球问题的基本 策 略 ,而“ 球心在过 几何体一个面的外心 ,且垂直该面的直线上”是确定球心位置的基本工具 ;由此易得 正六棱柱、直三棱柱、正四棱锥等三类特殊几何体的外接球 球心 . 母题结构 :正 2n 棱柱最长对角线为其外接球的直径 ;若正棱锥外接球半径为 R,底面多边形外接圆的半径为 r,棱锥的高为 h,则 =母题 解 析 :略 . 柱 子题类型 :(2007 年辽宁高考试题 )若一个底面边长为26,侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点 都在同一个球面上 ,则此球的体积为 . 解析 :如图 ,由正六边形的边长等于其外接圆半径 6 正六棱柱的外接球直经 2R=2 3 R= 3 V 球 =4 3 . 点评 :因正六边形有特殊性质 :其外接圆半径等于边长 ,由此可 得 :底面边长为 a,侧棱长为 = 21 224 ;直棱柱有外接球的 充要条件是底面多边形为圆内接多边形 ;若 直棱柱有外接球 (半径为 R),底面多边形外接圆的半径为 r,直棱柱的 高为 2h,上 、下 底面 的外心分别为 外接球球 心 1且 r2+2. 同 类 试题 : 1.(2008 年 课标 高考试题 全 国高中数学联赛湖南 初赛试题 )一个六棱柱的底面 是正六边形 ,其侧棱垂直底面 且该六棱柱的体积为89,底面周长为 3,则这个球的体积为 . 2.(2009 年全国 高考试题 )直三棱柱 若 C=, 200,则此球的表面积等于 . 锥 子题类型 :(2006 年 安徽 高考试题 )表面积为 2 3 的正八面体的各顶点都在同一个球面上 , 则此球的 体积为 ( ) (A)32(B)3(C)32(D)322 解析 :设正八面体 a,则 821 3 a=1,根据正八面体的对称性知球心 所以球的半径 R=22a=22 V=A). 点评 : 有外接球的 充要条件是底面多边形为圆内接多边形 ;底面正方形边长为 a,高为 锥 的外接球 半 径 R=h. 同 类 试题 : 3.(2007年 广东 高考试题 )一个正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,五 个顶点都在同一个球面上 ,则此球的表面积为 . 4.(2014 年 大纲 高考试题 )正四棱锥的顶点都在同一球面上 ,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( ) (A)481(B)16 (C)9 (D)427子题类型 :(2005 年江西高考试题 )矩形 ,沿 矩形 成一个直二面角 四面 306 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 体 外接球的体积为 ( ) (A)12125 (B)9125 (C)6125 (D)3125 解析 :设 矩形 中 心为 O,则 B=D=25 沿 矩形 论如何 折 叠 ,所得 四面体 接球的 半径恒为25 V=6125 C). 点评 :解决球 问题的基本 策略 是 :先定球心 ,再求半径 位置 ,常用如下结论 :到 几何体 的 所有 顶点 距离相等的 点是几何体 的 外接 球球心 . 同 类 试题 : 5.(2007 年华南理工 大学 保送生考试 试题 )已知 A、 B、 C、 D 是某球面上不共面的四点 ,且 C=2 ,C=2,此球的表面积等于 . 6.(2012年全 国高中数学联赛 试题 (A)设同底的两个正三棱锥 若正三棱锥 50,则正三棱锥 侧面与底面所成角的正切值是 . 7.(2010 年课标高考试题 )设三棱柱的侧棱垂直于底面 ,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上 ,则该球的表面积为 ( ) (A) (B)37 (C)311 (D)5 .(2013年 辽宁 高考试题 )已知三棱柱 个顶点都在球 面上 ,若 ,2,则 球 径为 ( ) (A)2173(B)2 10 (C)213(D)3 10 9.(2007 年全国 高考试题 )正四棱锥 底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、 A、 B、 C、 则该球的体积为 . 10.(2011 年 重庆 高考试题 )高为 2 的四棱锥 底面是边长为 1 的正方形 ,点 S、 A、 B、 C、 D 均在半径为 1 的同一球面上 ,则底面 中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) (A)210(B)2 32(C)23(D) 2 令球的半径为 R,六棱柱的底面边长为 a,高为 h,由 a=21,h= 3 ,2h)2=R=1 V=34. 如果 、 直三棱柱 在 故外接球的半径R= 12r ,其中 ,r 是 外接圆半径 , 3 r=2 R= 5 S 球 =4 0 . 由 底面边长为 2 r= 2 h=1 R=23 S=9 . 由 底面边长为 2 r= 2 R=49 S=481A). 构造正方体 型 :则四面体 合题目条件 ,由正方体的棱长为 2 2R= 6 表面积 =6 . 连结 平面 足 且 ,连结 ,则 且 知 则 50 正切值 =4. 由 r=33a,2h=a 27S=37 B). 由 r=