1_6354069_1.着意几何意义.妙解向量试题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 199 中国 高考数学母题 (第 062 号 ) 着意几何意义 平面向量兼具代数与几何的双重特征 ,充分利用向量“形”的特性 ,通过构 造 符合题目条件的几何图形 ,可挖 掘 向量“形”的 內涵 ,直观表现问题的本质 ,达到妙解目的 . 母题结构 :( )己知 非零向量 a、 b、 c 满足 a+b=c,构图表示 向量 a、 b、 c; ( )己知 非零向量 a、 b、 c 满足 c,构图表示 向量 a、 b、 c; ( )己知 非零向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0,构图表示 向量 a、 b、 c; 母题 解 析 :( )由 向量 a、 b、 c 满足 a+b=c,根 据 平面向量 的 平行四边形 运算 法则 ,构造 平行四边形 )由 向量 a、 b、 c 满足 c,根 据 平面向量 的 三角形 运算 法则 ,构造 平行四边形 ( )由 向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0, 构造首尾相连的 B =a,b,c; 构造 以 为始点 , 顶点为终点的 向量 . 边形 子题类型 :(2009 年全国 高考试题 )设非零向量 a、 b、 c 满足 |a|=|b|=|c|,a+b=c,则 =( ) (A)1500 (B)1200 (C)600 (D)300 解析 :令 a,b,c,由 a+b=c 四边形 平行四边形 ; 又由 |a|=|b|=|c| |=|=| |=| 是正三 角形 200 =B). 点评 :关于 两个 向量 和 的 有关问题 ,以这两个向量 为邻边构造平行四边形 ,然后把题目条件移植到该平行四边形中 ,由此研究该平行四边形 ,进而 解 决有关问 题 . 同 类 试题 : 1.(2004 年全国 高考试题 )己知向量 a、 b 满足 :|a|=1,|b|=2,|2,则 |a+b|=( ) (A)1 (B) 2 (C) 5 (D) 6 2.(2004 年全国 高考试题 )己知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为 600,那么 |a+3b|=( ) (A) 7 (B) 10 (C) 13 (D)4 子题类型 :(2011 年“卓越联盟”自主招生数学试题 )向量 a、 b 均为非零向量 ,( a,( b,则 a,b 的夹角为 ( ) (A)6(B)3(C)32(D)65解析 :作 a,b,由 ( a,( b C 垂 直 平分 线性质 ) D,D 正三角形 a,b 的夹角为3 (B). 点评 :关于 两个 向量 差 的 有关问题 ,以这两个向量 为邻边构造三角形 ;对 与 向量的 倍数有关的 问题 ,要 利用数与 向量 积的 几何意义 ,进 行 构图 ;充分利 用平面几何的相关结论是 构图解决向量的夹角问题的 精髓 . 同 类 试题 : 3.(2007 年全 国高中数学 联赛湖南 初赛试题 )已知向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0,( c,a b,若 |a|=1,则 |a|2+|b|2+|c|2的值是 . 4.(2004 年福建高考试题 )己知 a、 b 是非零向量 ,且满足 ( a,( b,则 a 与 b 的夹角是 ( ) (A)6(B)3(C)32(D)65子题类型 :(2006 年浙江高考试题 )设向量 a、 b、 c 满足 :a+b+c=0,( c,a b,若 |a|=1,则 |a|2+|b|2+|c|2的值 200 备战高考数学的一条捷径 的有效手段 2017年课标高考 母题 是 . 解析 :(法一 )由 a+b+c=0,构造首尾相连的 得 a,b,c,如图 ;由 a b 00, 延长 点 D,使 C,则 ( c 等腰直角三角形 等腰直 角三角形 C=1 2 |a|2+|b|2+|c|2=4. (法二 )由 a+b+c=0,构造 以 重心 G 为始点 , 顶点为终点的 向量 ,如图 ;由 a b 长 ,则 D 是 中点 ,由 ( c 等腰直角三角形 |b|= |a|=1 |c|=2B= 2 |a|2+|b|2+|c|2=4. 点评 :若向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0,则有两种构图方式 ;构图 不仅可求向量的 夹角 ,而且 还可巧 求向量的 模 , 同 类 试题 : 5.(2015年 安徽 高考试题 ) 的等边三角形 ,已知向量 a,B =2a,2a+b,则下列结论正确的是 ( ) (A)|b|=1 (B)a b (C) (D)(4a+b) 6.(2015 年 浙 江 高考试题 )已知 e1,且 1,若平面 向量 b 满足 ,则 |b|= . 7.(2001 年上海春招试题 )若非零向量 a,b 满足 |a+b|=|则 a 与 b 所成角的大小为 . 8.(2006 年福建高考试题 )己知向量 a 与 b 的夹角为 1200,且 |a|=3,|a+b|= 13 ,则 |b|等于 ( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)1 9.(2005年北京高考试题 )|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c a,则向量 a与 ) (A)300 (B)600 (C)1200 (D)1500 10.(2010 年第 二 十 一 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试题 )若 |a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c a,则向量 a 与 b 的夹角 是 . 11.(2006 年北京高考试题 )己知 a=(,b=(,且 a b,则 a+b 与 夹角的大小是 . 12.(2013 年第 二 十 四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试题 )两个非零向量 a 和 b 满足 |a|=|b|=|a+b|,则向量 a 和 ) (A)600 (B)900 (C)1200 (D)1500 令 a,b,在 平行四边形 ,作 H,则 1,15 |a+b|=6 (D). 令 a,3b,在 平行四边形 |a+3b|= 13 C). 由 a+b+c=0,且 a b 知 a、 b、 c 构成直角三角形 长 点 D,使 C |a|2+|b|2+|c|2=4. 作 a,b,由 ( a,( b a,b 的夹角为3 (B). 取 中点 D,则 且 24a+ (D). 由 1 =600;又由 =300;由 b|e1| |b|=332. 因 |a+b|与 |别 表示以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度 ;由 |a+b|=| 此平行四边形的对角线 相等 此平行四边形为矩形 a b a 与 b 所成角的大小为 900. 令 a,b,在 平行四边形 ,13 , 00 |b|= (B). 令 a,b,在 平行四边形 ,由 c a |a|=1,|b|=2